Utiliser les identités remarquables

Soit a et b deux nombres positifs. Le carré ABCD représenté sur la figure 1 a pour côté a + b. À l'intérieur, sont construits deux autres carrés de côtés respectifs a et b, et deux rectangles de mêmes dimensions a et b.

L'aire de ABCD peut se calculer par deux méthodes différentes :

Première méthode : c'est l'aire d'un carré de côté a + b, soit (a + b)².

Seconde méthode : c'est aussi l'aire du carré de côté a, plus les aires des deux rectangles, plus l'aire du carré de côté b, soit a² + ab + ab + b².

De ces deux calculs, on déduit l'égalité : (a + b)² = a² + 2ab + b². C'est une identité remarquable.

1. Les trois identités remarquables

1.1. Deux identités semblables

L'égalité écrite en introduction reste vraie quels que soient les signes des nombres a et b. On a ainsi, pour tous nombres a et b :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ;

(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.

Remarques :

à gauche du signe « = » figure la forme factorisée de l'identité ; à sa droite, on trouve la forme développée ;

les expressions développées ne diffèrent que par le signe du terme 2ab, appelé « double-produit », ce qui permet de les retenir facilement ;

pour retrouver la deuxième identité à partir de la première, on peut écrire (a - b)² = [a + (-b)]², donc (a - b)² = a² + 2a(-b) + (-b)² = a² - 2ab + b².

2. Une autre identité

Soit a et b deux nombres positifs. On a ôté d'un grand carré de côté a un petit carré de côté b.

Calculons l'aire de la surface restante jaune par deux méthodes.

Première méthode : c'est la différence entre l'aire du grand carré et l'aire du petit carré, soit a² - b².

Seconde méthode : on fait un découpage de la surface restante, puis on recompose les morceaux. On obtient un rectangle dont les dimensions sont a + b et a - b. Son aire est égale à (a + b)(a - b).

On obtient ainsi : a2-b2 = (a + b)(a-b).

Cette égalité est vraie quels que soient les signes des nombres a et b.

2. Applications

2.1. Développer à l'aide des identités remarquables

Soit x un nombre. On veut développer les expressions suivantes : (2x + 3)² ; (3x – 4)² et (5x + 2)(5x – 2).

(2x + 3)² = (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² + 12x + 9

(3x – 4)² = (3x)² – 2 × 3x × 4 + 4² = 9x² – 24x + 16

(5x + 2)(5x – 2) = (5x)² – 2² = 25x² – 4

2.2. Factoriser à l'aide des identités remarquables

Soit x un nombre.

Exemple 1 : on veut factoriser les expressions : 9x² – 12x + 4 ; 81 – 9x² et 16x² + 24x + 9

9x² – 12x + 4 = (3x)² – 2 × 3x × 2 + 2² = (3x – 2)²

81 – 9x² = 9² – (3x)² = (9 + 3x)(9 – 3x)

16x² + 24x + 9 = (4x)² + 2 × 4x × 3 + 3² = (4x + 3)²

Exemple 2 : on veut factoriser l'expression (2x + 1)² – (5x + 3)².

On reconnaît ici une expression de la forme a² – b², où le rôle de a est joué par la parenthèse (2x + 1) et celui de b par la parenthèse (5x + 3).

On a donc (2x + 1)² – (5x + 3)² = [(2x + 1) + (5x + 3)][(2x + 1) – (5x + 3)]

On termine en réduisant chaque crochet : (2x + 1 + 5x + 3)(2x + 1 – 5x – 3) = (7x + 4)(–3x – 2)

2.3. Calculer mentalement à l'aide des identités remarquables

On veut calculer mentalement : 53² ; 79² et 41 × 39.

On transforme chaque écriture pour pouvoir utiliser une identité remarquable. Les étapes détaillées ci-dessous sont à effectuer mentalement dans la pratique :

53² = (50 + 3)² = 50² + 2 × 50 × 3 + 3² = 2 500 + 300 + 9 = 2 809

79² = (80 - 1)² = 80² - 2 × 80 × 1 +1² = 6 400 – 160 + 1 = 6 241

41 × 39 = (40 + 1)(40 – 1) = 40² – 1² = 1 600 – 1 = 1599