Utiliser des grandeurs produits et des grandeurs quotients

Si un automobiliste parcourt 720 kilomètres en 6 heures, sa vitesse moyenne est égale à 120 kilomètres par heure (720 ÷ 6 = 120).

La longueur du trajet (720 km) et la durée du parcours (6 h) sont des grandeurs simples.

La vitesse moyenne de l'automobiliste (120 km/h) est une grandeur composée ; il s'agit plus précisément d'une grandeur quotient.

Comment utilise-t-on les grandeurs produits et les grandeurs quotients ?

1. Grandeurs produits

Les grandeurs produits sont des produits de grandeurs simples. L'unité de la grandeur produit dépend des unités dans lesquelles sont exprimées ces grandeurs simples. On veillera à avoir toujours des unités correspondantes, comme le montrent les exemples suivants.

1.1. Aires et volumes

Les aires et les volumes sont des grandeurs produits : une aire est le produit de deux longueurs (exprimées dans la même unité), et un volume est le produit de trois longueurs (exprimées dans la même unité).

Exemple : on veut calculer la hauteur d'une pyramide dont le volume est égal à 500 cm3 et dont l'aire de la base est 2 dm².

Le volume d'une pyramide est donné par la formule , où B et h désignent respectivement l'aire de la base et la hauteur de la pyramide, exprimées dans des unités correspondantes. On peut convertir l'aire B en cm², soit 2 dm² = 200 cm².

On a : , d'où .

La hauteur de la pyramide est donc égale à 7,5 cm.

1.2. Énergie électrique

La puissance d'un appareil électrique s'exprime en watts (W) ou en kilowatts (kW) ; on a : 1 kW = 1 000 W.

Si on utilise un appareil électrique dont la puissance est égale à P pendant une durée t, la formule permettant de calculer l'énergie E consommée par cet appareil est : E = P × t. L'énergie se mesure donc par une grandeur produit. L'unité de mesure de E dépend des unités choisies pour exprimer P et t.

L'unité d'énergie la plus couramment utilisée est le kilowattheure (symbole kWh) : le compteur électrique d'une habitation utilise cette unité pour mesurer l'énergie qui y est consommée. Pour que E soit exprimée en kilowattheures, il faut que P soit exprimée en kilowatts et t en heures.

Exemple : on utilise un fer à repasser d'une puissance de 1 500 W pendant deux heures. On veut comparer l'énergie ainsi consommée avec celle que consommeraient 7 ampoules de 75 W allumées pendant 5 heures. Ces énergies seront exprimées en kilowattheures.

La puissance du fer à repasser est égale à 1 500 W, soit 1,5 kW. L'énergie consommée par le fer à repasser est donc : E1 = 1,5 × 2, soit 3 kWh.

La puissance d'une ampoule est égale à 75 W, soit 0,075 kW. L'énergie consommée par les 7 ampoules est donc : E2 = 7 × (0,075 × 5), soit 2,625 kWh.

L'utilisation de ce fer pendant 2 heures consomme donc plus d'énergie que les 7 ampoules restant allumées pendant 5 heures.

1.3. Transport de marchandises

Pour mesurer le trafic d'une ligne de transport de marchandises, on utilise une grandeur produit : masse transportée × longueur du trajet.

Exemple : calculer le trafic d'un camion qui transporte 3 400 kg de marchandises sur 850 km.

Le résultat sera exprimé en tonnes-kilomètre (symbole : t. km).

On convertit la masse transportée en tonnes : 3 400 kg = 3,4 t.

Le trafic est donc égal à : 3,4 × 850, soit 2 890 t. km.

2. Grandeurs quotients

Les grandeurs quotients sont des quotients de grandeurs simples.

L'unité de la grandeur quotient dépend des unités dans lesquelles sont exprimées ces grandeurs simples. On veillera à avoir toujours des unités correspondantes, comme le montrent les exemples suivants.

2.1. Vitesse

Rappelons la formule : , où la vitesse v, la distance parcourue d et la durée du parcours t sont exprimés dans des unités correspondantes.

Exemple : on veut calculer la vitesse moyenne d'un sprinter qui court le 100 mètres en 10 secondes ; cette vitesse sera exprimée en m/s, puis en km/h.

d = 100 m et t = 10 s, donc la vitesse moyenne du sprinter en m/s est égale à 100 ÷ 10, soit 10 m/s.

La vitesse exprimée en km/h représente la distance qui serait parcourue par le sprinter en une heure : nous venons de voir qu'en une seconde il parcourt 10 m, donc, en une heure, il parcourrait 3 600 × 10 (car 1 h = 3 600 s), soit 36 000 m. Or 36 000 m = 36 km.

La vitesse moyenne du sprinter est donc égale à 36 km/h.

Remarque : les unités de grandeurs quotients peuvent aussi se noter à l'aide d'exposants. Par exemple km/h se note aussi km. h-1.

2.2. Débit

Si on ouvre un robinet et si on laisse couler l'eau, le débit d de ce robinet est donné par la

formule : , où v désigne le volume d'eau écoulé et t le temps d'écoulement ; d, v et t doivent être exprimés dans des unités correspondantes : si le volume est en litres et le temps en minutes, le débit sera exprimé en L/min.

Exemple : on veut calculer le temps nécessaire, en heures et minutes, pour remplir une baignoire de 300 litres si le débit du robinet de cette baignoire est 4 L/min.

D'après la formule , on a : .

On obtient donc le temps t en minutes par le calcul , soit t = 75 min.

Or 75 min = 1 h 15 min, donc le robinet remplit la baignoire en 1 h 15 min.