Transformations

Peu de temps après l'invention de la géométrie analytique par Descartes (1637), le mathématicien Desargues créait la géométrie des transformations (1639).

Néanmoins, alors que la géométrie analytique connaissait un succès immédiat, il fallut attendre le xixe siècle pour que Monge, Steiner ou Poncelet développent cette géométrie.

On introduit ici une nouvelle transformation (dont le nom est dû au mathématicien Chasles) : l'homothétie. Cette transformation permet de répondre à la question : comment, à partir d'un point, agrandir ou réduire une figure tout en gardant ses proportions ?

1. Quelles sont les transformations usuelles à connaître ?

Une transformation du plan est une bijection du plan dans lui-même. Ceci signifie que tout point du plan a une image unique et un antécédent unique par une transformation.

Il existe cinq transformations usuelles à connaître : les quatre qui sont rappelées dans ce paragraphe et l'homothétie, qui sera étudiée dans le paragraphe suivant.

La translation de vecteur est la transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M' tel que .

La symétrie orthogonale d'axe D est la transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M' défini par :

si M appartient à l'axe D, alors M' = M  ;

si M n'appartient pas à l'axe D, alors D est la médiatrice du segment [MM'].

La symétrie de centre O est la transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M' défini par :

si M = O, alors M' = O ;

si M est distinct de O, alors O est le milieu du segment [MM'].

La rotation de centre O et d'angle  est la transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M' défini par :

si M = O, alors M' = O ;

si M est distinct de O, alors OM = OM' et .

2. Que faut-il savoir sur l'homothétie ?

Soit O un point du plan ou de l'espace et k un réel non nul. On appelle homothétie de centre O et de rapport k : la transformation du plan ou de l'espace qui, à tout point M, associe le point M' tel que .

On a les propriétés suivantes :

l'homothétie de centre O et de rapport k différent de 1 admet un unique point invariant qui est le centre O de cette homothétie ;

il résulte de la définition de l'homothétie qu'un point et son image sont toujours alignés avec le centre de l'homothétie ; de plus, si trois points O, M et M', distincts deux à deux, sont alignés, alors il existe une et une seule homothétie de centre O qui transforme M en M' ;

si deux points M et N ont pour images respectives M' et N' par une homothétie de rapport k, alors .

Remarque

La symétrie de centre O n'est autre que l'homothétie de centre O et de rapport .

3. Quelles propriétés des transformations doit-on connaître ?

Les cinq transformations usuelles admettent un certain nombre de propriétés communes.

Elles transforment trois points alignés en trois points alignés : on dit qu'elles conservent l'alignement.

Il en résulte que l'image d'une droite par l'une de ces transformations est une droite.
De plus, l'image d'une droite par une translation ou par une homothétie est une droite parallèle (éventuellement confondue).

Elles transforment un segment [AB] en un segment de même longueur dans le cas de la rotation, de la symétrie orthogonale ou de la translation (on dit qu'elles conservent les distances), et en un segment de longueur dans le cas d'une homothétie de rapport k.

Elles conservent les barycentres  : si G est le barycentre des points A, B et C, alors l'image de G est le barycentre des images des points A, B et C affectés des mêmes coefficients.

Elles conservent les angles géométriques.

Mais, alors que la rotation, la translation et l'homothétie conservent les angles orientés, ce n'est pas le cas de la symétrie orthogonale.

Les translations, rotations et symétries orthogonales transforment un cercle en un cercle de même rayon.

Une homothétie de rapport k transforme un cercle en un cercle dont le rayon est multiplié par .
Les translations, rotations et symétries orthogonales transforment une figure plane en une figure isométrique de même aire.

Une homothétie de rapport k multiplie les aires par .

Remarques

Les homothéties ou translations dans l'espace se définissent de la même manière que dans le plan et possèdent les mêmes propriétés.

L'image d'un plan est un plan parallèle.

La translation conserve les volumes alors qu'une homothétie de rapport k multiplie les volumes par .

4. Comment déterminer un ensemble de points (lieu géométrique) ?

On considère une figure dont certains éléments sont fixes et d'autres variables.

On connaît l'ensemble décrit par l'un des points variables A et on cherche alors l'ensemble décrit par un autre point variable M de la figure.

Dans un premier temps il convient de faire des essais soit à la main, soit à l'aide d'un logiciel de géométrie (par exemple GeoplanW) en traçant plusieurs positions des points considérés de manière à pouvoir conjecturer la nature de l'ensemble obtenu.

Ensuite on peut déterminer l'ensemble cherché en recourant à la géométrie analytique : l'ensemble est alors caractérisé par une équation. Ainsi, dans le plan, est une équation cartésienne du cercle de centre O et de rayon 1.

On peut aussi procéder à une étude directe (on montre que le point variable étudié appartient à un certain ensemble E) puis à une étude réciproque (on étudie si tout point de l'ensemble E convient).

Enfin, on peut prouver que le point M dont on cherche le lieu géométrique est l'image du point A par une transformation (translation, symétrie, rotation, homothétie). Dans ce cas, il n'est pas nécessaire de procéder à une étude réciproque, les théorèmes du cours fournissant directement une réponse complète à la question.

5. Comment résoudre un problème de construction géométrique ?

On demande de construire géométriquement un point, une droite ou un cercle (en général, il s'agit de construction à effectuer à la règle et au compas).

Un problème de construction se résout en général en trois étapes principales.

Analyse. On suppose que le problème posé admet une solution et on réalise la figure correspondant à ce qui est demandé. On étudie alors les propriétés de la configuration obtenue (droites parallèles, perpendiculaires, milieux, transformation associée à certains points de la figure etc.)

Synthèse. Parmi toutes les propriétés dégagées lors de l'étude précédente, on met en évidence les propriétés qui doivent être vérifiées pour que la construction soit possible (ce sont les conditions nécessaires) et les propriétés qui vont permettre de réaliser la construction.

Construction. On réalise matériellement la construction demandée à la règle et au compas en discutant sur l'existence de solutions et le nombre de solutions obtenues.

À retenir absolument

On retiendra la relation fondamentale de l'homothétie : si deux points M et N ont pour images respectives M' et N' par une homothétie de rapport k, alors .

À partir de cette relation, on retrouve le fait qu'une homothétie de rapport k multiplie les distances par et qu'elle transforme une droite en une parallèle à cette droite.

L'homothétie agrandit ou réduit une figure tout en conservant ses proportions.

Les homothéties ou translations dans l'espace se définissent de la même manière que dans le plan et possèdent les mêmes propriétés.

L'image d'un plan est un plan parallèle.

La translation conserve les volumes alors qu'une homothétie de rapport k multiplie les volumes par .