Traiter un problème de proportionnalité

On dit que des grandeurs sont proportionnelles si l'on peut passer de l'une à l'autre en passant toujours par le même nombre. Quelles méthodes peut-on utiliser pour bien s'en assurer ?

1. Passage par l'image de l'unité

Cinq cahiers valent 30 €. Comment calculer le prix de sept cahiers ?

On cherche d'abord le prix d'un cahier. On a 30 ÷ 5 = 6. Le prix d'un cahier est de 6 €. On multiplie alors le prix d'un cahier par sept. On a 6 × 7 = 42. Le prix des sept cahiers est de 42 €.

2. Utilisation d'un rapport de linéarité

2.1. Le rapport de linéarité est un décimal

Un homme parcourt à allure régulière 350 m en cinq minutes. Comment calculer la distance parcourue en dix minutes, puis en quinze minutes ?

10 minutes est le double de 5 minutes. La distance parcourue en 10 minutes est le double de celle parcourue en 5 minutes, soit 2 × 350 = 700 m. L'homme parcourt 700 m en 10 minutes.

Pour trouver la distance parcourue en 15 minutes, on peut d'abord observer que : 10 + 5 = 15. Pour trouver la distance parcourue en 15 minutes, on additionne la distance parcourue en 10 minutes et celle parcourue en 5 minutes. On obtient alors : 700 + 350 = 1050. L'homme parcourt 1050 m en 15 minutes.

Cette situation peut être représentée par le tableau suivant :

2.2. Le rapport de linéarité n'est pas un décimal

Pour faire un gâteau, il faut 100 g de beurre et 300 g de farine. Comment calculer la quantité de beurre pour 540 g de farine ?

Le beurre représente le tiers de la farine. La quantité de beurre pour 540 g de farine est

 = (540 ÷ 3) × 1 = 180. Il faut 180 g pour 540 g de farine.

3. Utilisation du coefficient de proportionnalité

3.1. Le coefficient est un décimal

Deux DVD coûtent 18,90 €. Comment calculer le prix de 5 DVD ?

On utilise un tableau de proportionnalité et on cherche le coefficient de proportionnalité.

Le coefficient de proportionnalité est : 18,90 ÷ 2 = 9,45. On multiplie alors 5 par ce coefficient. On obtient 5 × 9,45 = 47,25. Le prix de 5 DVD est de 47,25 €.

3.2. Le coefficient n'est pas un décimal

Avec 40 kg de blé, on obtient 30 kg de farine. Comment trouver la quantité de blé pour produire 54 kg de farine ?

On utilise un tableau de proportionnalité et on cherche le coefficient de proportionnalité.

Le coefficient de proportionnalité est : 40 ÷ 30. Or, le quotient obtenu n'est pas un décimal.

Le coefficient cherché est la fraction . On multiplie alors 54 par cette fraction. On obtient :

54 ×   = (54 ÷ 3) × 4 = 18 × 4 = 72. Il faut donc 72 kg de blé pour obtenir 54 kg de farine.