Traduire une translation par une égalité vectorielle

La notion de translation, illustrée dans la figure 1, permet d'aborder la notion de vecteur. Les vecteurs sont utilisés en mathématiques, mais aussi en physique pour représenter par exemple une force ou une vitesse.

Quelle relation y a-t-il entre les translations et les vecteurs ?

1. Définition et notation d'un vecteur

Sur la figure 2, ABDC, CDFE, EFHG et GHJI sont des parallélogrammes.

On peut donc dire que :

la translation qui transforme A en B transforme aussi C en D ;

la translation qui transforme C en D transforme aussi E en F ;

la translation qui transforme E en F transforme aussi G en H ;

la translation qui transforme G en H transforme aussi I en J.

Donc la translation qui transforme A en B, C en D, E en F, G en H et I en J est la même.
On dit alors que les couples de points (A, B), (C, D), (E, F), (G, H) et (I, J) représentent le même vecteur.

On note  =   =   =   =   ; se lit « vecteur AB ».

Si on note le vecteur ainsi représenté ( se lit « vecteur u »), on dit que , , , et sont des représentants du vecteur  .

On peut alors écrire :  =  =   =   =   = 

Les points A et B sont respectivement appelés l'origine et l'extrémité du représentant  .
Il ne faut pas confondre les vecteurs  et , qui sont des vecteurs opposés.

Sur une figure, un vecteur est représenté par un segment fléché, comme on peut le voir sur la figure 3.

Remarque : un vecteur possède une infinité de représentants.

2. Vecteur et translation

Définition : la translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur  .
On peut donc dire que :

si D est l'image de C par la translation de vecteur  , alors  =   ;

si  =  , alors D est l'image de C par la translation de vecteur  .

Exemple 1 : une translation transforme un point R en un point P ; un point T est l'image d'un point O par cette même translation. Par quelle égalité vectorielle peut-on traduire ces phrases ?

La translation qui transforme R en P transforme aussi O en T ; par définition, on a donc  =  .

Exemple 2 : par quelle translation peut-on traduire l'égalité vectorielle  =   ?

La translation qui transforme M en N transforme aussi W en Z, donc Z est l'image de W par la translation de vecteur  .

3. Caractéristiques d'un vecteur

Considérons à nouveau la figure sur laquelle , , , et représentent le même vecteur  et tentons de dégager les caractéristiques de ce vecteur.

Les droites (AB), (CD), (EF), (GH) et (IJ) sont parallèles entre elles, car les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles. On dit alors que les droites (AB), (CD), (EF), (GH) et (IJ) ont la même direction.

Cette direction est appelée la direction du vecteur  .

Observons l'ordre des points dans les couples (A, B), (C, D), (E, F), (G, H) et (I, J) : le dessin nous permet de dire que le sens de A vers B, de C vers D, de E vers F, de G vers H, ou de I vers J est le même ; c'est ce qu'indiquent les flèches des représentants  , , , et . On dit que ce sens est le sens du vecteur  .

Enfin, les longueurs des segments [AB], [CD], [EF], [GH] et [IJ] sont égales, car les côtés opposés d'un parallélogramme ont la même longueur. La longueur commune des segments [AB], [CD], [EF], [GH] et [IJ] est appelée la longueur du vecteur  .

En résumé : un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur.

Remarque : il existe un seul vecteur qui ne possède ni direction, ni sens : il s'agit du vecteur nul.

La longueur de ce vecteur est nulle.