Traduire la composée de deux translations par une égalité vectorielle

On peut transformer un point par deux translations successives.

En quoi cette transformation permet-elle de définir l'addition de deux vecteurs ?

Par ailleurs, comment construit-on la somme de deux vecteurs quelconques ?

1. Composition de deux translations

Observons la figure 1.

M est un point du plan, et sont deux vecteurs quelconques ; M' est l'image de M par la translation de vecteur et M'' est l'image de M' par la translation de vecteur .

Ainsi, M'' est le transformé du point M par deux translations successives : la translation de vecteu  , puis la translation de vecteur  . On dit qu'on a composé ces deux translations.

Voici le principe de cette construction :

soit et des représentants de et  ;

pour construire M', on construit un parallélogramme ABM'M de sorte que  ; M' est donc l'image de M par la translation de vecteur  , c'est-à-dire de vecteur   ;

pour construire M'', on construit un parallélogramme CM''M' de sorte que  ; M'' est donc l'image de M' par la translation de vecteur  , c'est-à-dire de vecteur  .

Démontrons maintenant que ACM''M est un parallélogramme.

ABM'M et BCM''M' sont des parallélogrammes par construction. Or les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles et de même longueur ; on a donc :

(AM) // (BM'), AM = BM', (BM') // (CM'') et BM'= CM''.

On en déduit que : (AM) // (CM'') et AM = CM''.

Le quadrilatère ACM''M est un quadrilatère non croisé, ayant deux côtés parallèles et de même longueur ; par conséquent, c'est un parallélogramme et M'' est donc l'image de M par la translation de vecteur  .

Propriété : transformer un point M par deux translations successives de vecteurs et revient à transformer ce point par la translation de vecteur  .

2. Somme de deux vecteurs

2.1. Définition

Le vecteur  est appelé le vecteur somme des vecteurs  et .

On écrit :  =  +  ; cette relation est appelée relation de Chasles.

La propriété démontrée dans le paragraphe 1 peut donc s'énoncer de la manière suivante : la composée de la translation de vecteur  et de la translation de vecteur  est la translation de vecteur  + .

2.2. Propriétés de la somme de deux vecteurs

Propriété 1 : soit et deux vecteurs quelconques. Alors +  =  + .

Cette propriété est illustrée par la figure 4, sur laquelle on a construit un parallélogramme ABCD tel que  =  et  =  . On a alors +  =  +  =  , et +  =  +  =  , d'où +  =  + .

Propriété 2 : somme de deux vecteurs opposés.

Deux vecteurs opposés se représentent par et  ; la relation de Chasles permet alors d'écrire : +  =  .

 représente un vecteur de longueur nulle, puisque AA = 0. Ce vecteur est appelé le vecteur nul et est noté . C'est le seul vecteur qui n'a ni direction ni sens. Le vecteur nul se représente par un point.

En résumé, la somme de deux vecteurs opposés est égale au vecteur nul.

3. Construction de la somme de deux vecteurs

3.1. En utilisant la relation de Chasles

Soit et deux vecteurs quelconques, représentés respectivement par et .

Pour représenter la somme  + , on construit un représentant de d'origine B, qu'on appelle . Pour cela, on construit le parallélogramme BEDC.

On a alors +  =  +  =   ; par suite est un représentant du vecteur  + .

3.2. En utilisant un parallélogramme

Soit et deux vecteurs quelconques. On suppose que leurs représentants, nommés et , ont la même origine A.

On construit le parallélogramme ABDC ; on a alors : +  =  + . Or  =  , puisque ABDC est un parallélogramme, et donc +  =  +  =  .

Par conséquent, le vecteur  + est représenté par .