Systèmes d'équations ou d'inéquations linéaires

Au collège, on apprend à résoudre des systèmes de deux équations à deux inconnues qui ont un couple solution. En classe de seconde, on découvre qu'il existe des systèmes n'ayant aucune solution ou une infinité de solutions.

En première, on a affaire à des systèmes composés de trois équations ou plus. Les méthodes de résolution par substitution et combinaison linéaire fonctionnent-elles toujours ? Que faire s'il s'agit d'inéquations ?

La résolution de tels systèmes est pratiquée au quotidien par les économistes qui doivent traduire en équilibres et en contraintes les variables de notre société.

1. Comment résout-on un problème à l'aide d'un système d'équations ou d'inéquations ?

Cette résolution comprend plusieurs étapes :

• il faut d'abord explicitement définir les inconnues en les désignant par des variables (x, y, n, etc.) et en précisant leurs unités si nécessaire ;

• ensuite, on traduit par une équation ou une inéquation chaque renseignement (ou contrainte) sur une grandeur ;

• on résout alors le système d'équations par substitution d'une variable ou par combinaison linéaire des équations ;

• enfin, on conclut par une phrase sa résolution au problème posé.

Remarque

Un système d'inéquations ne peut se résoudre que graphiquement : dans le plan s'il comprend deux inconnues, dans l'espace s'il en comprend trois.

2. Comment résout-on graphiquement un système linéaire de deux équations à deux inconnues ?

Une équation linéaire à deux inconnues x et y s'écrit sous la forme : . Si , donc, si les coefficients a et b ne sont pas nuls en même temps, une telle égalité est l'équation d'une droite ; cette droite est l'ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y) sont solutions de l'équation .

Un système de deux équations linéaires à deux inconnues se représente graphiquement par deux droites dont les équations sont celles du système. Il y a trois cas de figure :

• si les deux droites sont sécantes, les coordonnées de leur point d'intersection donnent le couple solution du système ;

• si les deux droites sont parallèles et distinctes, le système n'a pas de solution. On écrit alors (l'ensemble des solutions est l'ensemble vide) ;

• si les deux droites sont parallèles et confondues, le système a une infinité de couples solutions. Ce sont les coordonnées des points de la droite.

3. Comment résout-on un système linéaire d'équations par substitution ?

Les systèmes rencontrés sont, en général, composés de deux équations à deux inconnues ou de trois équations à trois inconnues.

Pour résoudre de tels systèmes, le plus simple est d'utiliser l'une des équations pour écrire une inconnue en fonction des autres. Dans les autres équations, on remplace alors cette inconnue par l'écriture obtenue, puis on simplifie. Apparaît ainsi un sous-système, plus facile à résoudre, qui a une inconnue de moins.

Remarques

Pour éviter les fautes d'étourderie, il faut travailler avec l'ensemble des équations du système. On dit que l'on raisonne par systèmes équivalents.

Si la solution est un couple ou un triplet de valeurs, on vérifie le résultat en remplaçant les variables par les valeurs trouvées, dans les équations initiales.

4. Qu'est-ce que la méthode du pivot de Gauss ?

La méthode du pivot de Gauss est la méthode de résolution par combinaison linéaire, connue depuis la classe de troisième, mais appliquée à des systèmes de trois équations ou plus.

Elle consiste à combiner les équations pour obtenir un système triangulaire, à partir duquel on obtient les solutions une à une.

Remarque

Ce procédé s'impose lorsque la méthode par substitution risque de faire apparaître des fractions (c'est le cas si aucune inconnue ne possède un coefficient égal à 1 ou -1).

5. Comment résout-on un système linéaire d'inéquations à deux inconnues ?

La seule méthode de résolution est graphique.

Chaque inéquation linéaire à deux inconnues du type ou correspond à un demi-plan ayant pour frontière la droite d'équation (pour un tracé plus précis, les droites frontières seront construites à partir de leurs intersections avec les axes).

Pour savoir quel demi-plan convient, on teste l'inégalité en un point, souvent l'origine (0 ; 0). On hachure chaque demi-plan qui ne convient pas et on note la droite frontière en pointillé lorsque l'inégalité est stricte.

Les couples solutions du système sont les coordonnées des points de la partie du plan qui n'est pas hachurée et qui ne sont pas sur une droite frontière en pointillé.

6. Qu'appelle-t-on « programmation linéaire » ?

Les problèmes de « programmation linéaire » sont des problèmes d'optimisation : à l'aide d'un graphique, on résout un système linéaire d'équations ou d'inéquations, dans le but d'optimiser ou de minimiser une variable (en général, une dépense, un bénéfice, etc.), compte tenu de certaines contraintes.

Ainsi, pour rechercher un coût minimal ou un bénéfice maximal, tout en respectant des contraintes, on est amené à chercher à rendre minimum ou maximum une expression du type sur une zone du plan.

La quantité correspond à une famille de droites parallèles de même pente . À partir de l'une de ces droites (par exemple celle qui passe par l'origine, d'équation ), on détermine graphiquement la parallèle qui coupe l'axe des ordonnées le plus bas ou le plus haut possible, tout en traversant la zone des contraintes.

La droite la plus basse minimise la quantité Q, la droite la plus haute, la maximise.

Il y a généralement un seul point de la zone des contraintes qui appartient à la droite solution.

Il suffit de remplacer x et y par les coordonnées de ce point pour obtenir la valeur de Q cherchée.

À retenir absolument

Un système d'équations linéaires se résout algébriquement, par substitution d'une variable ou par combinaison linéaire des équations, en vue d'obtenir un sous-système comportant moins d'inconnues.

Un système d'inéquations linéaires se résout graphiquement. S'il comporte deux inconnues, on cherche, dans le plan, les demi-plans associés à chaque inéquation. S'il comporte trois inconnues, la modélisation a lieu en trois dimensions et le recours à l'ordinateur est souvent indispensable.