Suites arithmétiques et suites géométriques

Certaines suites ont des propriétés particulières, comme les suites arithmétiques et les suites géométriques.

De telles suites sont définies par récurrence mais on peut calculer leur terme général en fonction du rang, ainsi que la somme des premiers termes.

C'est pourquoi les suites arithmétiques et les suites géométriques interviennent dans de nombreux domaines tels l'économie ou les sciences physiques ; ces suites s'appliquent en effet aux placements de capitaux à intérêts simples ou composés, aux désintégrations de substances radioactives, etc.

1. Comment montrer qu'une suite est ou n'est pas arithmétique ou géométrique ?

Une suite arithmétique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par l'addition d'un réel constant (appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Un) est arithmétique, on montre que, pour tout , la différence est constante (c'est-à-dire ne dépend pas de n).

Pour montrer qu'une suite (Un) n'est pas arithmétique, il suffit de calculer les 3 premiers termes U0, U1 et U2 (ou parfois les 4 ou 5 premiers, si les 3 premiers ne suffisent pas) et de constater que .

Une suite géométrique est une suite telle que chaque terme se déduit du précédent par la multiplication par un réel constant (également appelé la raison de la suite). Pour montrer qu'une suite (Vn) est géométrique, on montre qu'il existe un réel q constant tel que, pour tout entier n, .

Pour montrer qu'une suite (Vn) n'est pas géométrique, il suffit de calculer les 3 (voire les 4 ou

5) premiers termes V0, V1 et V2 et de constater que, si et , .

2. Quel est le terme général d'une suite arithmétique ? D'une suite géométrique ?

Si r est la raison d'une suite arithmétique (Un) et Up l'un de ses termes, alors, pour tout   , .

Les cas particuliers où le premier terme est U0 ou U1 sont fréquents. On a alors : ou .

Si q est la raison d'une suite géométrique (Vn) et Vp est l'un de ses termes, alors, pour tout   , .

Les cas particuliers où le premier terme est V0 ou V1 sont fréquents. On a alors ou .

3. Quelle est la somme des premiers termes d'une suite arithmétique ? Celle des premiers termes d'une suite géométrique ?

Soit (Un) une suite arithmétique. La somme S des premiers termes de cette suite est donnée par la formule :

.

Soit (Vn) une suite géométrique de raison q. La somme S' des premiers termes de cette suite est donnée par la formule :

, si

et , si .

4. Comment étudie-t-on la convergence d'une suite arithmétique ou géométrique ?

Pour une suite arithmétique (Un), on calcule directement la limite du terme général Un en fonction de n (quand n tend vers ).

Pour une suite géométrique, il faut utiliser les propriétés suivantes :

• si q > 1,  ;

• si ,  ;

• si – 1 < q < 1,  ;

• si , qn n'a pas de limite quand .

À retenir absolument

Une suite (Un) est arithmétique si la différence de deux termes consécutifs quelconques est constante, c'est-à-dire s'il existe un réel r indépendant de n tel que, pour tout , . Dans ce cas, pour tout et , . Et la somme S des premiers termes de cette suite est donnée par la formule :

.

Une suite (Vn) est géométrique s'il existe un réel q constant tel que, pour tout ,

. Dans ce cas, pour tout et , . Et la somme S' des premiers termes de cette suite est donnée par la formule :

• si ,  ;

• si , .

Les seules limites nouvelles à connaître sont les suivantes :

• si q > 1,  ;

• si - 1 < q < 1,  ;

• si ,  ;

• si , qn n'a pas de limite quand n tend vers .