Suites arithmétiques et croissance linéaire

On place un capital de 1 000 € à intérêts simples, à un taux annuel de 4 % : il n'est pas difficile de calculer la somme disponible au bout de deux ou de trois ans. Mais comment calculer directement la somme disponible au bout de dix ans ?

L'exemple cité ci-dessus est un phénomène à croissance linéaire : on obtient chaque terme (la somme disponible au bout de n + 1 années) à partir du précédent (la somme disponible au bout de n années) en ajoutant une même quantité (4 % de 1 000 €). Ce phénomène se modélise à l'aide d'une suite arithmétique.

1. Comment calculer le terme général d'une suite arithmétique ?

Une suite numérique (un) est une fonction qui, à un nombre entier naturel n, le rang, associe un nombre réel un, le terme de rang n. Une suite peut ainsi être définie par son terme général de rang n ou par la relation permettant de passer du terme de rang n au terme de rang suivant n + 1.

Une suite (un) est dite arithmétique, s'il existe un réel r appelé raison de la suite (un) tel que, pour tout entier n, un + 1 = un + r. D'une façon générale, une suite est arithmétique lorsque la différence de deux termes consécutifs quelconques est constante.

Soit (un) une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r. Pour tout entier naturel n, le terme général de la suite est donné par la relation : un = u0 + n × r. Plus généralement, pour tous naturels n et p : .

2. Comment représenter graphiquement une suite arithmétique ?

On place, dans un repère correctement choisi, les points de coordonnées (0 ; u0), (1 ; u1), (2 ; u2),...

De manière générale, tous les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r sont des points de la droite d'équation y = r × x + u0.

Exemple

Si u0 = -5 et si la raison est 0,75, on obtient le graphique ci-dessous :

3. Comment reconnaître une suite arithmétique ?

Si la suite est donnée par une relation de récurrence, c'est-à-dire si un + 1 est exprimé en fonction de un, on vérifie que la différence est constante.

Si la suite est donnée par une relation du type un = f(n), on peut procéder comme ci-dessus ou montrer que un peut s'écrire sous la forme :  ; la raison de la suite est alors a et son premier terme, b.

Si l'on connaît sa représentation graphique, on vérifie qu'il s'agit d'une droite d'équation , où a est la raison et b, le premier terme.

4. Comment déterminer le rang p correspondant à un terme up donné ?

On résout l'équation d'inconnue n0.

Par exemple, si l'on a la suite définie par et que l'on cherche p tel que , on écrit la suite sous la forme du terme général , puis on résout l'équation . On trouve .

On peut également utiliser la représentation graphique de la suite. Il suffit alors de lire l'abscisse du point d'intersection de la droite d'équation avec la droite d'équation .

5. Comment déterminer le sens de variation d'une suite arithmétique ?

Il faut examiner le signe de la raison r de la suite :

• si r = 0, la suite est constante et égale à u0 ;

• si r < 0, la suite est strictement décroissante ;

• si r > 0, la suite est strictement croissante.

6. Comment calculer les premiers termes d'une suite arithmétique avec un tableur ?

On peut s'inspirer de l'exemple ci-dessous, il représente un extrait de feuille de calcul.

Il est important de noter que $B$1 est la référence absolue de la cellule B1 qui contient la raison. Ainsi, cette référence est invariable par copier-glisser.

À retenir absolument

Une suite arithmétique (un) de raison r peut être définie par la relation de récurrence : ou par l'expression de son terme général : .

Toute suite arithmétique (un) peut s'écrire sous la forme : un = a × n + b, où a est la raison et b, le premier terme.

Une suite arithmétique se représente graphiquement par une droite d'équation y = ax + b.