Suites (1re)

Définir une suite numérique (Un), c’est associer, à chaque entier naturel n, un nombre réel Un.

On étudie tout particulièrement les suites de base que sont les suites arithmétiques et géométriques car leurs applications économiques sont nombreuses : progression d’une population à taux constant, valeur acquise d’un placement à intérêts simples ou à intérêts composés pour une période donnée, etc.

Des formules permettent de calculer directement la somme de leurs premiers termes.

1. Par quelles méthodes engendre-t-on une suite numérique ?

Pour une suite numérique (Un), on appelle Un le terme de rang n de la suite.

Une suite peut ainsi être définie :

• directement par son terme général Un ; celui-ci est défini en fonction de n par une relation  ;

• par une relation de récurrence qui permet de passer d’un terme de rang n au terme de rang suivant et par la donnée de son premier terme U0 (si la suite est définie à partir du rang 0). Cette méthode nécessite de calculer tous les termes, jusqu’au terme de rang demandé.

2. Comment peut-on savoir si une suite est croissante ou décroissante ?

Une suite (Un) est croissante lorsque, pour tout rang n, on a . C’est-à-dire que plus le rang est élevé, plus le terme de la suite est grand.

De façon analogue, une suite (Un) est décroissante lorsque, pour tout n, on a .
Si pour tout rang n, on dit que la suite (Un) est stationnaire.

Dans tous les cas, on étudie le signe de la différence .

Si la suite est définie par son terme général , le sens de variation de la suite (Un) est le même que le sens de variation de la fonction f sur l’ensemble des réels positifs :

• si la fonction f est croissante sur , alors la suite (Un) est croissante ;

• si la fonction f est décroissante sur , alors la suite (Un) est décroissante.

3. Comment démontrer qu’une suite est ou n’est pas arithmétique ?

Une suite est dite arithmétique lorsque l’on peut déduire chaque terme du précédent en lui ajoutant un réel constant. C’est-à-dire s’il existe un réel a (a est une constante qui dépend de la suite) tel que, pour tout n, .

Le réel constant a est appelé la raison de la suite.

Pour démontrer qu’une suite (Un) est arithmétique, on montre que, pour tout entier naturel n, la différence est constante, c’est-à-dire ne dépend pas de n.

Pour démontrer qu’une suite n’est pas arithmétique, il suffit d’un contre-exemple : en général, le calcul des trois premiers termes de la suite suffit.

4. Comment démontrer qu’une suite est ou n’est pas géométrique ?

Une suite est dite géométrique lorsque l’on peut déduire chaque terme du précédent en le multipliant par un réel constant. C’est-à-dire s’il existe une constante b dépendant de la suite telle que, pour tout n, .

Le réel constant b est appelé la raison de la suite.

Pour démontrer qu’une suite (Un) est géométrique, on montre que, pour tout entier naturel n, .

On évitera de calculer le rapport , qui n’existe pas si l’un des termes de la suite est nul.

Pour démontrer qu’une suite n’est pas géométrique, il suffit d’un contre-exemple : en général, le calcul des trois premiers termes de la suite suffit.

5. Comment déterminer le terme général d’une suite arithmétique ? d’une suite géométrique ?

Si le premier terme d’une suite arithmétique (Un) est U0 et sa raison r, alors le terme général de cette suite est .

Par exemple : la valeur acquise Cn au bout de n périodes par un capital C0 placé au taux périodique de t % à intérêts simples est le terme général d’une suite arithmétique de premier terme C0 et de raison  . On a : .

Si le premier terme d’une suite géométrique (Un) est U0 et sa raison q, alors le terme général de cette suite est .

Par exemple : la valeur acquise Cn au bout de n périodes par un capital C0 placé au taux périodique de t % à intérêts composés est le terme général d’une suite géométrique de premier terme C0 et de raison (1 + t). On a : .

6. Comment calcule-t-on la somme des termes d’une suite arithmétique et d’une suite géométrique ?

Dans le cas d’une suite arithmétique, la somme des premiers termes est égale au produit du nombre de termes par la demi-somme du premier et du dernier terme :

(ici, il y a termes).

Dans le cas d’une suite géométrique de raison q, différente de , la somme des premiers termes est le produit du premier terme par le quotient de par , soit :

, (ici, il y a termes).

Si la raison q est égale à 1 (q = 1), la suite est stationnaire et la somme des premiers termes est alors le produit du premier terme par le nombre de termes, soit :

.

À retenir absolument

Le terme général d’une suite arithmétique (Un) de premier terme U0 et de raison r s’écrit :
.

La somme des premiers termes de la suite arithmétique (Un) est égale au produit du nombre de termes par la moyenne des premier et dernier termes :

.

Le terme général d’une suite géométrique (Vn) de premier terme V0 et de raison q s’écrit : .

Si , la somme des premiers termes de la suite géométrique (Vn) est égale au produit

du premier terme par le quotient  :

.