Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue

Les méthodes de résolution des équations et des inéquations se ressemblent ; cependant, contrairement aux équations qui n'ont le plus souvent qu'un nombre fini de solutions, une inéquation admet en général une infinité de solutions.

Comment déterminer et représenter ces solutions dans le cas d'une inéquation du premier degré à une inconnue ?

1. Définitions

1.1. Les inéquations

Une inéquation est une inégalité où figure une lettre appelée l'inconnue.

Rappel : les 4 symboles d'inégalité sont :

 qui se lit « inférieur ou égal à » ;

 qui se lit « supérieur ou égal à » ;

< qui se lit « strictement inférieur à » ;

> qui se lit « strictement supérieur à ».

Exemples : et 7x + 2,1 < 45 sont des inéquations d'inconnue x.

1.2. Les solutions d'une inéquation

On dit qu'un nombre est une solution d'une inéquation si on obtient une inégalité qui est vraie quand on remplace l'inconnue par ce nombre dans l'inéquation.

Exemple : considérons l'inéquation 2x + 3 > 5.

Est-ce que 2 est une solution ? Si on remplace x par 2 dans l'inéquation, on obtient : 2 × 2 + 3 > 5, soit 7 > 5.

Cette inégalité est vraie, donc 2 est une solution.

Est-ce que 1 est une solution ? Si on remplace x par 1 dans l'inéquation, on obtient : 2 × 1 + 3 > 5, soit 5 > 5.

Cette inégalité est fausse, donc 1 n'est pas une solution.

Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes ses solutions.

2. Résolution d'une inéquation

2.1. Méthode

La méthode ressemble à celle utilisée pour les équations du premier degré à une inconnue, à une différence importante près. Rappelons en effet que dans une inégalité, on peut :

ajouter ou soustraire un même nombre de part et d'autre du symbole d'inégalité ;

multiplier ou diviser par un même nombre différent de 0 de part et d'autre du symbole d'inégalité, mais si ce nombre est négatif, il faut changer le sens de l'inégalité.

2.2. Exemples

Exemple 1 : on veut résoudre l'inéquation 2x + 3 > 5. Elle équivaut successivement à :

2x > 5 – 3

2x > 2

x > 1 : la résolution s'achève à cette étape.

On remarque que cette inéquation admet une infinité de solutions qui correspondent à tous les nombres strictement supérieurs à 1.

Exemple 2 : on veut résoudre l'inéquation .

Cette inéquation équivaut successivement à :

 : on notera le changement de sens de l'inégalité.

Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à -4.

3. Représentation graphique des solutions

Reprenons l'inéquation de l'exemple 1 (paragraphe 2.2), à l'étape finale : x > 1. Comme nous l'avons déjà remarqué, on ne peut pas énumérer toutes les solutions, car il y en a une infinité.

Cependant, il est possible de les représenter sur une droite graduée, en hachurant l'ensemble des points qui ne représentent pas les solutions. La partie non hachurée représentera donc l'ensemble des solutions.

Enfin, il faut montrer sur le dessin que 1 n'est pas une solution. Pour cela, on utilise un crochet qui sera tourné de la manière suivante :

si le nombre est solution, le crochet est tourné vers l'intérieur de l'ensemble des solutions ;

si le nombre n'est pas solution, le crochet est tourné vers l'extérieur de l'ensemble des solutions.

Exemples :

Pour l'inéquation de l'exemple 1 (x > 1), on obtient la représentation suivante :

Pour l'inéquation de l'exemple 2 ( ), on obtient la représentation suivante :