Résoudre une équation du second degré (l'équation x 2 = a)

Étant donné un nombre a, existe-t-il un nombre x tel que x2 = a ? S'il en existe, y en a-t-il plusieurs ?

Nous verrons que la réponse à ces questions dépend du nombre a.

1. Les trois cas possibles

1.1. Cas où a < 0

Considérons les deux membres de l'équation x2 = a. D'après la règle permettant de déterminer le signe d'une puissance, on sait qu'un carré est toujours positif. Donc pour tout nombre x, x2 est positif. Comme a est strictement négatif, il n'existe pas de nombre x vérifiant x2 = a.

 Autrement dit, l'équation n'a pas de solution.

Exemple : l'équation x2 = –7 n'a pas de solution.

1.2. Cas où a = 0

L'équation s'écrit x2 = 0. La solution est immédiate : il n'existe qu'un seul nombre x solution.

C'est 0. Autrement dit, l'équation n'a qu'une solution : 0.

1.3. Cas où a > 0

L'équation x2 = a peut s'écrire sous la forme x2–a = 0. Utilisons la définition de la racine carrée : pour tout nombre positif, ( )2 = a.

L'équation est donc équivalente à : x2 – ( )2 = 0.

En utilisant l'identité remarquable a2 – b2 = (a + b) (a –  b) cette équation est encore équivalente à :

(x +  ) (x –  ) = 0.

Il s'agit donc d'une équation-produit qui se résout ainsi : si un produit de facteurs est égal à 0,

alors l'un au moins de ces facteurs est égal à 0. On obtient donc : x +   = 0 ou x –  = 0,

soit x  = – ou x =  .

On constate finalement que l'équation a deux solutions : et et que ces deux solutions sont des nombres opposés.

Exemples :

l'équation x2 = 256 a deux solutions et – , c'est-à-dire 16 et –16 ;

l'équation x2 = 19 a deux solutions et . On doit laisser les signes racine carrée si on veut garder les valeurs exactes.

1.4. Conclusion

L'équation x2 = a est une équation du deuxième degré (car on y trouve des x à la puissance 2).

L'étude précédente a montré que cette équation peut avoir 0, 1 ou 2 solutions.

2. Un exemple d'application en géométrie

Après avoir effectué un agrandissement d'un triangle, on constate que son aire est multipliée par 3.

Quel est le rapport de cet agrandissement ?

Appelons k le rapport de l'agrandissement considéré. On sait que dans un agrandissement de rapport k, l'aire d'une figure est multipliée par k2. On a donc : k2 = 3. Cette équation a deux solutions qui sont et .

Par définition, un rapport d'agrandissement est un nombre positif. La seule solution acceptable est donc k =  . Le rapport de cet agrandissement est donc .