Résoudre un système de deux équations à deux inconnues

Un système d'équations est constitué de plusieurs équations que l'on doit résoudre en même temps, chaque équation pouvant avoir plusieurs inconnues.

Comment résoudre les systèmes de deux équations du premier degré à deux inconnues ?

1. Définitions

1.1. Système de deux équations à deux inconnues

Un système de deux équations du premier degré à deux inconnues est un système de la forme :

où x et y sont les inconnues de ce système.

a, b, c, d ,e, f sont des nombres donnés tels que l'on n'ait pas a = b =  0 et d = e = 0.

Exemple : le système est un système de deux équations à deux inconnues.

1.2. Solution d'un système d'équations à deux inconnues

On dit qu'un couple de nombres (u, v) est solution d'un système de deux équations d'inconnues x et y si on obtient deux égalités qui sont vraies en remplaçant x par u et y par v dans chaque équation.

Exemple : le couple (2, –1) est-il une solution du système  ?

En remplaçant x par 2 et y par –1, on obtient : .

Ces deux égalités sont vraies, donc le couple (2, –1) est une solution de ce système.

Remarque : l'ordre des nombres dans le couple est important ; en effet, le couple (–1, 2) n'est pas solution de ce système.

2. Méthodes de résolution

2.1. Méthode de substitution

Expliquons cette méthode à l'aide d'un exemple.

Soit à résoudre le système .

À l'aide de l'une des deux équations, on exprime une inconnue en fonction de l'autre : exprimons par exemple x en fonction de y à l'aide de la première équation.

On obtient le système équivalent : .

Ensuite, on remplace x par 2y + 3 dans la deuxième équation, d'où le nom de « substitution » attribué à cette méthode (substituer est synonyme de remplacer).

On obtient le système : .

La deuxième équation est une équation du premier degré à une inconnue, y, que l'on résout tout en conservant la première équation. Le système équivaut successivement à :

 ;  ;  ; .

Ayant trouvé la valeur de y, on remplace y par cette valeur dans la première équation pour trouver celle de x :

, soit : .

La solution du système est donc le couple (1, –1).

2.2. Méthode d'élimination

Expliquons cette méthode à l'aide d'un exemple.

Soit à résoudre le système .

Multiplions les deux membres de la première équation par 2, de façon à avoir le même terme en y dans chaque équation.

On obtient le système équivalent : .

Nous allons maintenant soustraire les deux équations membre à membre : les termes en y vont ainsi s'éliminer (d'où le nom d'élimination).

On obtient le système : .

On remarquera qu'il faut conserver l'une (au choix) des deux équations de départ.

La première équation est ainsi devenue une équation à une inconnue x. Le système équivaut

successivement à :  ; .

On termine, comme dans la méthode précédente, en remplaçant x par 3,5 dans la deuxième équation afin de trouver la valeur de y :

 ;  ;  ;  ; .

La solution du système est donc le couple (3,5, 1,5).

Remarque : les deux méthodes, substitution et élimination, sont utilisables quel que soit le système à résoudre. Cependant, on aura intérêt à choisir, selon le système, la méthode qui fournit les calculs les plus simples.