Résoudre un problème de pourcentage

« Baisse de 20 % sur tout le magasin », « Le produit intérieur brut a augmenté de 3,7 % en un an », « L'inflation a été ce mois-ci de 0,3 % », « Le taux de natalité est de 16 ‰ » (lire « 16 pour mille »). On voit que les pourcentages sont souvent utilisés dans la vie courante.

Comment les calculer et les interpréter ?

1. Calculer, appliquer un pourcentage

1.1. Un exemple

Énoncé : le département de la Seine-et-Marne (77) a vu sa population passer de 1 078 145 à 1 192 932 habitants entre les recensements de 1990 et de 1999.

a) Quel a été le pourcentage d'augmentation entre ces deux dates ?

b) Si la progression se maintient au même rythme, à combien peut-on estimer la population de ce département en 2008 ?

Résolution :

a) Pour calculer le pourcentage d'augmentation, on considère que l'augmentation du nombre d'habitants est proportionnelle à la population initiale (en 1990). On imagine alors une population initiale de 100 habitants et on cherche quelle serait son augmentation x.

Grâce aux produits en croix, on peut écrire : 1 078 145 × x = 100 × 114 787

x   10,6

Entre ces deux recensements, la population de la Seine-et-Marne a augmenté de 10,6 % environ.

b) Entre 1999 et 2008, il y a la même durée (9 ans) qu'entre 1990 et 1999. Si l'augmentation se maintient au même rythme, la population augmentera donc du même pourcentage, soit 10,6 %, entre ces deux dates.

La population augmentera donc d'environ 126 450 habitants ( )

On peut estimer que la population de la Seine-et-Marne en 2008 sera « entre » 1 319 000 et 1 320 000 habitants (1 192 932 + 126 450 = 1 319 382).

Remarques :

lorsqu'on fait des prévisions, il ne faut pas être trop précis dans ses réponses. Par exemple, dans le problème que l'on vient de traiter, il ne faut pas donner la réponse 1 319 382 habitants, ni même 1 319 400, l'ordre de grandeur au millier étant suffisant ;

on aurait pu multiplier directement 1 192 932 par 1,106 ( ), car

.

1.2. Règles

Pour augmenter une quantité de t %, il suffit de la multiplier par : .

Pour diminuer une quantité de t %, il suffit de la multiplier par : .

Exemple : si les prix augmentent de 200 %, cela signifie que les prix ont triplé ; en effet les

nouveaux prix Q sont égaux aux anciens P multipliés par , donc .

Remarque : contrairement à un taux d'augmentation, un taux de diminution est toujours inférieur à 100 %. Si les prix baissaient de 100 %, tout serait gratuit !

2. Autres types de calcul de pourcentage

2.1. Calculer un « pourcentage de pourcentage »

Énoncé : sur un pot de fromage frais, on lit : « 45 % de matière grasse » et également : « Contient 82 % d'humidité ». Quel est, en réalité, le pourcentage de matière grasse contenu dans le fromage ?

Résolution : l'énoncé peut paraître paradoxal : comment un fromage pourrait-il contenir plus de 127 % (45 + 82 = 127) de produit ? En réalité, le taux de matière grasse est calculé sur « l'extrait sec », c'est-à-dire sur ce qui resterait si on enlevait toute l'eau du produit.

Imaginons 100 g du produit : il y a donc 18 g d'extrait sec (car 100 – 82 = 18). C'est sur ces 18 g qu'on calcule la quantité de matière grasse.

Il y a donc 8,1 g de matière grasse (car 18 × 0,45 = 8,1) pour 100 g de fromage.

La matière grasse représente 8,1 % de la masse du fromage blanc.

2.2. Calculer un pourcentage après réunion

Énoncé : en 1998 ont été vendues en France 225 200 voitures de marque Citroën et 322 340 voitures de marque Peugeot. En 1999, les ventes de Citroën ont augmenté d'environ 4,5 % et celles de Peugeot d'environ 21 %. De quel pourcentage ont augmenté les ventes du groupe Peugeot-Citroën ?

Résolution : cherchons les ventes du groupe Peugeot-Citroën en 1998 et en 1999.

En 1998, ce groupe a vendu 547 540 voitures (225 200 + 322 340 = 547 540).

En 1999, Citroën a vendu 235 334 voitures (225 200 × 1,045 = 235 334) et Peugeot a vendu 390 031 voitures (322 340 × 1,21 = 390 031,4), soit un total de 625 365 voitures pour le groupe (235 334 + 390 031 = 625 365).

L'augmentation totale des ventes est de 77 825 voitures (625 365 – 547 540 = 77 825).

Soit x le pourcentage cherché. On a : , donc , soit x   14,2.

Les ventes du groupe Peugeot-Citroën ont augmenté en 1999 de 14,2 % environ.

Remarque : on peut noter qu'il n'y a pas de relation simple entre les pourcentages de l'énoncé

(4,5 % et 21 %) et celui du résultat (14,2 %) ; notamment : .