Représentations d'une série statistique

On s'attache, dans cette synthèse, à étudier la première étape d'une enquête statistique qui consiste à classer dans un tableau les données recueillies, puis à en fournir une représentation graphique.

1. Comment établir le tableau d'une série statistique ?

Rappelons tout d'abord le sens de quelques termes en statistiques :

• l'ensemble étudié lors d'une enquête statistique est la population ;

• un élément de cette population est un individu ;

• le nombre total d'individus de la population est sa taille ;

• le caractère étudié sur cette population est la variable statistique ;

• les valeurs prises par cette variable peuvent être appelées modalités.

La variable est :

• qualitative, quand elle prend des valeurs non numériques ;

• quantitative, quand elle prend des valeurs numériques.

Quand elle est quantitative, la variable peut être :

• discrète, quand elle prend un nombre fini de valeurs ;

• continue, quand elle prend toute valeur comprise entre deux nombres donnés.

Remarque

Quand le nombre de valeurs prises par la variable statistique est trop grand, on traite la variable comme une variable continue.

Quand la variable statistique X est discrète, on compte pour chaque valeur le nombre d'individus prenant cette valeur. C'est l'effectif. On aboutit à un tableau du type :

On calcule parfois, pour chaque valeur, les fréquences relatives : c'est le rapport

 .

Quand le nombre de valeurs prises par la variable statistique est trop grand ou quand la variable est continue, on regroupe les valeurs en classes. Ce sont des intervalles semi-ouverts . On appelle amplitude de la classe le nombre : et centre de la classe le

nombre :  . Pour chaque classe, on compte le nombre d'individus qui prennent une valeur supérieure ou égale à et inférieure à . Ce sera l'effectif de la classe. On aboutit à un tableau du type :

On calcule parfois, pour chaque classe de valeurs, sa fréquence relative : c'est le rapport

 .

Remarque

Lors du regroupement des valeurs par classes, on s'efforce d'avoir des classes de même amplitude et pas trop nombreuses. Mais souvent, les valeurs extrêmes posent problème, d'où des premières ou dernières classes qui sont soit ouvertes soit d'amplitudes différentes.

2. Comment représenter une variable statistique discrète ?

Quand la variable statistique est discrète, on la représente à l'aide d'un diagramme en bâtons.

On porte en abscisse les valeurs de la variable et on trace, pour chaque valeur, parallèlement à l'axe des ordonnées, un bâton de longueur proportionnelle à l'effectif de la valeur.

Remarque

On peut aussi tracer un diagramme en bâtons des fréquences relatives. Il suffit de tracer, pour chaque valeur, parallèlement à l'axe des ordonnées, un bâton de longueur proportionnelle à la fréquence relative de la valeur.

3. Quand utilise-t-on un histogramme ?

Quand les valeurs prises par la variable sont regroupées en classes, la représentation graphique prend la forme d'un histogramme.

Un histogramme est constitué de rectangles juxtaposés ; la largeur de chaque rectangle correspond à l'intervalle de la classe correspondante, sa hauteur est telle que l'aire du rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe.

En joignant les milieux des sommets de chaque rectangle, on obtient le polygone des effectifs.

Remarques

Attention, ce sont les aires des rectangles qui sont proportionnelles aux effectifs représentés. Les hauteurs ne leur sont proportionnelles que lorsque l'on a des classes de même amplitude.

On peut aussi tracer l'histogramme des fréquences relatives. Chaque rectangle a alors une aire proportionnelle à la fréquence relative de la classe correspondante. En joignant les milieux des sommets de chaque rectangle, on obtient le polygone des fréquences relatives.

4. Comment tracer la courbe des effectifs cumulés ?

Une courbe des effectifs cumulés (ou des fréquences cumulées) est croissante ou décroissante.
Pour tracer la courbe des effectifs cumulés croissants, on détermine d'abord pour chaque classe l'effectif cumulé croissant  , c'est-à-dire le nombre d'individus qui prennent une valeur inférieure à . On place ensuite dans un repère les points  , on obtient ainsi la courbe des effectifs cumulés croissants.

Pour tracer la courbe des fréquences relatives cumulées croissantes, on procède de même. est alors remplacé par qui désigne le pourcentage des individus qui prennent une valeur inférieure à .

En remplaçant « inférieur » par « supérieur », on obtient de même les courbes des effectifs cumulés décroissants ou celle des fréquences relatives cumulées décroissantes.

5. Comment représenter une série qualitative ?

Pour représenter les résultats d'une enquête, dans le cas d'une variable statistique qualitative (par exemple, pour représenter les résultats d'un sondage), on utilise le plus souvent un diagramme circulaire. Celui-ci se présente sous la forme d'un disque divisé en autant de secteurs que de valeurs représentées ; l'aire de chaque secteur est proportionnelle à l'effectif ou à la fréquence relative de la valeur correspondante.

À retenir absolument

Quand le nombre de valeurs prises par la variable statistique est trop grand ou quand la variable est continue, on regroupe les valeurs en classes . On appelle amplitude de la

classe le nombre : et centre de la classe le nombre : .
Un histogramme est constitué de rectangles juxtaposés ; la largeur de chaque rectangle correspond à l'intervalle de la classe correspondante, sa hauteur est telle que l'aire du rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe.