Repérage dans le plan et calcul vectoriel

En utilisant les nombres réels, on a pu associer à chaque point d’une droite munie d’un repère (O, I) un nombre appelé son abscisse.

On peut de même associer à chaque point d’un plan muni d’un repère (O, I, J) deux nombres qui sont les coordonnées du point.

Dans un plan muni d’un repère, on peut calculer les coordonnées d’un vecteur et effectuer différents types de calcul vectoriel pour résoudre des problèmes de géométrie.

1. Comment repérer un point dans un plan ?

On commence par définir un repère du plan : un repère du plan est un triplet de points non alignés (le mot triplet signifie que les trois points considérés sont ordonnés).

En général, on appelle le repère (O, I, J), où O est l’origine du repère ; la droite (OI) est l’axe des abscisses et la droite (OJ) est l’axe des ordonnées.

Ensuite, à l’aide du repère, on associe à un point un couple unique de nombres réels en traçant des parallèles aux axes passant par le point.

Cherchons par exemple les coordonnées de A sur la figure ci-dessus.

On note le point d’intersection de (OI) et de la parallèle à (OJ) passant par A et le point d’intersection de (OJ) et de la parallèle à (OI) passant par A.

On détermine les coordonnées de A en prenant :

pour l’abscisse de A, l’abscisse du point  sur la droite graduée (OI) d’origine O,

pour l’ordonnée de A, l’abscisse du point  sur la droite graduée (OJ) d’origine O.

Ici, les coordonnées du point A sont (3 ; 2).

Remarques

• Si les axes sont perpendiculaires, alors (O, I, J) est un repère orthogonal.

• Si les axes sont perpendiculaires et si de plus OI = OJ, alors (O, I, J) est un repère orthonormal.

2. Comment définir un vecteur ? Quand deux vecteurs sont-ils égaux ?

Soit un plan dans lequel on a défini une unité de longueur. Un vecteur est caractérisé par trois données :

• sa direction : celle de la droite (AB) ;

• son sens : celui de A vers B ;

• sa longueur : la distance AB.

Le vecteur est égal au vecteur si ces deux vecteurs ont :

• la même direction, c’est-à-dire si (AB) // (CD) ;

• le même sens, c’est-à-dire si les points B et D sont du même côté de la droite (AC) ;

• la même longueur, c’est-à-dire si AB = CD.

Autrement dit : si et seulement si ABDC est un parallélogramme.

Ou encore :

si et seulement si l’image de C par la translation qui transforme A en B est D.

si et seulement si [AD] et [BC] ont le même milieu.

3. Quelles opérations peut-on effectuer sur des vecteurs ?

La somme de deux vecteurs est un vecteur que l’on peut construire de deux façons :

— avec la relation de Chasles en partant d’un point A :  ;

— avec la règle du parallélogramme : .

Remarque

La relation de Chasles sert aussi à décomposer un vecteur en une somme de vecteurs. Si A et B sont deux points donnés, alors, pour tout point C, on a : .

On définit la multiplication d’un vecteur par un réel de la manière suivante.

Soit un vecteur non nul et k un nombre réel non nul, le vecteur est défini ainsi :

• a la même direction que  ;

• a le même sens que si k est positif, le sens contraire si k est négatif.

Si k = -1, alors , ce qui définit le vecteur opposé à .

On appelle vecteurs colinéaires des vecteurs qui ont la même direction. Les vecteurs et sont colinéaires si et seulement s’il existe un nombre réel k tel que .

4. Quelles sont les bases du calcul vectoriel ?

Dans un plan muni d’un repère (O, I, J), à tout vecteur est associé un unique point M tel que , le point M est l’image de l’origine O du repère par la translation de vecteur .

Par définition, les coordonnées de sont celles de M : si M a pour coordonnées , le vecteur a pour coordonnées , on écrit ou aussi . Par exemple, sur le dessin ci-dessous on a : .

Il en découle que deux vecteurs et sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées : et .

Il est facile de calculer les coordonnées d’un vecteur quelconque à partir des coordonnées des points A et B. Dans un repère du plan, soit A un point de coordonnées  et B un point de coordonnées  , alors le vecteur a pour coordonnées  .

Soit et deux vecteurs de coordonnées  et  , alors :

• la somme de deux vecteurs et est un vecteur qui a pour coordonnées   ;

• le produit d’un vecteur par un réel k est un vecteur qui a pour coordonnées  .

Soit deux vecteurs de coordonnées  et  .

La colinéarité des deux vecteurs et se traduit par deux égalités :

si et seulement si et .

Elle se traduit aussi plus simplement par une égalité de proportionnalité dite des « produits en croix » :

et sont colinéaires si et seulement si .

Par exemple, les vecteurs et sont colinéaires car .

Si A et B sont deux points de coordonnées respectives et , alors on a tout naturellement :

.

À retenir absolument

Un repère du plan est un triplet de points non alignés. À chaque point du plan, on associe un couple unique de nombres réels, ses coordonnées, en traçant des parallèles aux axes passant par ce point.

Dans un plan muni d’une unité de longueur, un vecteur est caractérisé par trois données : sa direction, son sens et sa longueur.

La somme de deux vecteurs et est un vecteur qui a pour coordonnées  . Le produit d’un vecteur par un réel k est un vecteur qui a pour coordonnées  .

Les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si .