Reconnaître une fonction affine

Un service Minitel indique la tarification suivante : 0,02 € à la connexion, puis 0,20 € par minute.

Quel est le prix payé en fonction du nombre de minutes de connexion ?

Un cinéma propose une formule comprenant une carte d’abonnement de 22 € pour un an, puis 6 € par séance. Quel est le prix payé en fonction du nombre de séances ?

Ces deux exemples correspondent à ce que l’on appelle des fonctions affines.

1. Exemple

Reprenons le premier exemple cité en introduction (tarification Minitel) et considérons le tableau ci-dessous donnant le prix payé en fonction de certains nombres de minutes de connexion, choisis arbitrairement :

Pour calculer le prix payé (en €), il faut multiplier le nombre de minutes de connexion par 0,20 puis ajouter 0,02.

Si on appelle x le nombre de minutes de connexion, le prix payé (en €) sera donc égal à : 0,20x + 0,02.

Par conséquent, la fonction qui au nombre x de minutes de connexion fait correspondre le prix payé est :

Les fonctions de ce type sont appelées fonctions affines.

2. Définition

Soit a et b deux nombres fixés ; la fonction qui à un nombre x fait correspondre le nombre ax + b est appelée fonction affine ; cette fonction est notée .

Ainsi, la fonction est une fonction affine.

Reprenons l’exemple de l’abonnement au cinéma, cité en introduction, et appelons x le nombre de séances auxquelles on assiste dans l’année. Le prix annuel est égal à : 25x + 150. Par conséquent, la fonction qui au nombre x de séances annuelles fait correspondre le prix annuel payé est la fonction affine: .

Cas particuliers :

si b = 0, la fonction affine s’écrit  ; c’est donc une fonction linéaire. On peut donc dire qu’une fonction linéaire est une fonction affine particulière ;

si a = 0, la fonction affine est une fonction constante : . L’image de tout nombre x par cette fonction est b.

3. Questions classiques

Question 1 : déterminer les images de 4, et –2,4 par la fonction affine .

Pour x = 4, on a , soit  ; l’image de 4 est 22.

Pour , on a , soit  ; l’image de est .

Pour x = –2,4, on a , soit  ; l’image de –2,4 est –10.

Question 2 : parmi les fonctions suivantes, dire lesquelles sont affines et préciser alors les valeurs de a et de b si ces fonctions affines sont notées sous la forme .

 ;  ;  ;  ;  ; .

La fonction est affine : a = –6 et b = –2.

La fonction est affine : a = 12 et b = 0. Cette fonction est aussi linéaire.

La fonction est affine : et b = –5,2.

La fonction est affine : a = 0 et b = 5,4. Il s’agit d’une fonction constante.

Les deux autres fonctions ne sont pas affines.