Produit scalaire dans l'espace

La définition du produit scalaire envisagée dans le plan, en classe de première, peut être étendue à l'espace et exploitée pour étudier des configurations de l'espace ainsi que pour calculer des distances, des angles, des aires ou des volumes.

1. Quelles sont les différentes manières de calculer un produit scalaire ?

Le produit scalaire de deux vecteurs et de l'espace est le nombre réel noté et défini par

Si est une mesure de l'angle géométrique associé à et à , on a aussi :

Dans un repère orthonormal, si et ont pour coordonnées respectives (x ; y ; z) et (x' ; y' ; z'),

alors

Quand on calcule un produit scalaire en géométrie non analytique, on utilise la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs et se ramener ainsi à des calculs de produits scalaires sur des vecteurs orthogonaux ou colinéaires.

2. Quels sont les cas particuliers à connaître et leurs utilisations ?

Si l'un des deux vecteurs est nul, leur produit scalaire est nul.

Deux vecteurs de l'espace sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Si deux vecteurs non nuls de l'espace sont colinéaires, alors

Pour démontrer que deux droites de l'espace d et d', de vecteurs directeurs respectifs et , sont orthogonales, on montre que

La sphère de diamètre [AB] est l'ensemble des points M de l'espace tels que

3. Quelles sont les propriétés du produit scalaire ?

Pour effectuer des calculs vectoriels avec des produits scalaires, on utilise les propriétés suivantes :

 ;  ;

pour tout réel  ;

le carré scalaire de

4. Que faut-il savoir sur le vecteur normal ?

On appelle vecteur normal à un plan P tout vecteur directeur d'une droite orthogonale à P.

Par conséquent, un vecteur normal à un plan est toujours un vecteur non nul.

Un vecteur non nul est vecteur normal d'un plan P de vecteurs directeurs et si et seulement s'il est orthogonal à et à

La notion de vecteur normal intervient dans de multiples situations. Elle permet en particulier d'interpréter vectoriellement l'orthogonalité de droites et de plans.

Elle permet aussi de déterminer une équation cartésienne d'un plan dans un repère orthonormal de l'espace, en s'appuyant sur le théorème : le plan passant par A et de vecteur normal est l'ensemble des points M de l'espace tels que

5. Comment déterminer une équation cartésienne d'un plan ?

Outre la méthode exposée dans le paragraphe précédent, on peut déterminer une équation cartésienne d'un plan en s'appuyant sur la propriété énoncée ci-dessous.

Soit a, b, c trois réels non tous nuls, l'ensemble des points M de l'espace de coordonnées (x ; y ; z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal de coordonnées (a ; b ; c).

Réciproquement, tout plan de vecteur normal de coordonnées (a ; b ; c) admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.

Pour déterminer une équation cartésienne d'un plan passant par A et de vecteur normal , on peut :

• donner la forme générale de l'équation : ax + by + cz + d = 0 ;

• remplacer les coefficients a, b et c par les coordonnées du vecteur  ;

• déterminer ensuite la valeur de d à l'aide des coordonnées du point A.

6. Comment calculer une distance ?

Distance d'un point A à une droite d dans un plan muni d'un repère orthonormal.

La distance du point A à la droite d est la distance AH entre A et son projeté orthogonal H sur la droite d. Si A a pour coordonnées et d a pour équation cartésienne ax + by + c = 0,

alors

Distance entre deux points A et B de l'espace.

L'espace étant muni d'un repère orthonormal,

Distance d'un point A à un plan P.

La distance du point A au plan P est la distance AH du point A à son projeté orthogonal H sur le plan P. Si les coordonnées de A sont et l'équation du plan P est ax + by + cz + d = 0

alors

À retenir

Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel.

Dans un repère orthonormal, si les vecteurs et ont pour coordonnées respectives (x ; y ; z) et

.

Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

Si A est un point de l'espace et un vecteur non nul, l'ensemble des points M de l'espace tels

que est le plan passant par le point A et de vecteur normal 

Tout plan de l'espace admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.