Probabilités conditionnelles (Terminale)

Les probabilités conditionnelles prennent en compte les informations concernant l’issue d’une expérience qui modifient la probabilité des événements liés à cette expérience.

Si je jette un dé non truqué, la probabilité d’obtenir un 6 est de

Si je lance ce même dé, qu’une tierce personne me cache le résultat et me dit « j’ai vu que le résultat est pair », la probabilité de l’événement « avoir un 6 » change. Je sais que les issues possibles se réduisent maintenant aux nombres 2, 4, 6. La probabilité d’obtenir un 6 devient

donc On dit que la probabilité d’obtenir 6, sachant que le nombre obtenu est pair, est de

1. Comment calculer une probabilité conditionnelle ?

On considère une expérience aléatoire et deux événements quelconques de probabilités non nulles, A et B.

Si je sais que l’événement A est ou va être réalisé, alors :

• les issues possibles se réduisent à celles qui réalisent A ;

• les issues qui réalisent B se réduisent à celles qui réalisent à la fois A et B.

La « probabilité de l’événement B, sachant que l’événement A est réalisé », notée PA (B),

est alors

Or :

On calcule donc une probabilité conditionnelle à l’aide de la définition suivante :

On retrouve sur les probabilités conditionnelles les propriétés habituelles d’une probabilité, c’est-à-dire :

 ;

.

2. Comment passer de PA (B) à PB (A) ?

Très souvent, dans la pratique comme dans les problèmes posés, on connaît PA (B) et on veut trouver soit , soit PB (A).

Pour obtenir ces probabilités, il suffit de repartir de la définition précédente.

Soit A et B, deux événements quelconques de probabilités non nulles.

On a : d’où .

Mais on a aussi : d’où .

Et comme , on obtient : .

Ce qui nous donne au final :

3. Comment montrer que deux événements sont indépendants ?

Intuitivement, deux événements sont indépendants si la réalisation de l’un de ces événements n’influe pas sur la probabilité de l’autre.

On doit donc avoir : PA (B) = P(B).

C’est-à-dire

A et B sont donc indépendants si et seulement si :

.

Si deux événements A et B sont indépendants, alors :

• et B sont indépendants ;

• et sont indépendants ;

• A et sont indépendants.

La notion d’indépendance pose souvent problème car on l’utilise dans les deux « sens » :

Remarque :

Attention à ne pas confondre :

• A et B incompatibles (c’est-à-dire : ) ;

• A et B indépendants (c’est-à-dire : ).

4. Comment utiliser la formule des probabilités totales ?

La formule des probabilités totales repose sur l’existence d’une partition.

Les événements A1, A2, …, An, réalisent une partition de l’univers  si :

• pour tout i tel que1 ≤ i ≤ n, Ai ≠   ;

• pour tout i et pour tout j ( )  ;

• (l’ensemble des issues).

Alors, pour tout événement B de , on a :

ou encore :

À retenir
La probabilité de l’événement B, sachant que l’événement A est réalisé, est appelée probabilité

conditionnelle. Elle est définie par : .

Les événements A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un de ces événements n’influe pas sur la probabilité de l’autre. A et B sont donc indépendants si et seulement si : .

À partir d’une partition, on peut utiliser la formule des probabilités totales.