Probabilités (1re)

Par une lettre du 29 juillet 1654, Blaise Pascal répondait à Pierre de Fermat sur le problème des « parties » (Pascal (Blaise), Œuvres complètes, Gallimard, coll. « La Pléiade », page 77). On peut dater de ce jour la naissance des probabilités. Cette branche des mathématiques prendra son plein essor avec les Bernoulli, puis avec Siméon Poisson, jusqu’à fournir, au xxe siècle, une base théorique nécessaire à la conception de nombreuses lois scientifiques, utilisées dans des domaines aussi variés que la physique et la sociologie.

1. Comment définir une probabilité ?

On part d’une expérience aléatoire E, expérience dont on peut connaître les issues possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat.

Pour définir une probabilité sur E, on procède par étapes :

à l’aide d’un arbre par exemple, on détermine toutes les issues possibles de l’expérience aléatoire ; on définit ainsi l’univers  comme l’ensemble de toutes les issues possibles de E. On a  ;

à chaque issue on attribue une probabilité, c’est-à-dire qu’à chaque ei on associe un nombre pi tel que :

Pour déterminer les nombres pi, on a deux possibilités :

on associe à toutes les issues la même probabilité :  ; on dit que la probabilité est équirépartie ou que l’on est dans une situation d’équiprobabilité ;

on répète l’expérience dans des conditions identiques, on définit alors pi comme la fréquence de xi quand le nombre de répétitions tend vers  .

Une fois établie la loi de probabilité, on la présente sous forme de tableau :

Remarque

La première étape est essentielle. Il s’agit d’abord de bien comprendre l’expérience, de la visualiser, de la simuler pour écrire quelques issues possibles, puis enfin de déterminer toutes les issues de l’expérience. C’est dans ce « toutes » que réside la difficulté.

2. Comment calculer la probabilité d’un événement ?

Soit E une expérience aléatoire et   l’univers associé à E.

On appelle événement de l’expérience aléatoire E, tout sous-ensemble de . Autrement dit, un événement A est une partie de  .

Quand xi appartient à A, on dit aussi que xi réalise A.

On appelle événement élémentaire, un événement constitué d’un seul élément de  , c’est-à-dire constitué d’une seule issue .

La probabilité P(A) d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui le constituent.

Dans le cas où la probabilité est équirépartie, chaque issue ei a pour probabilité . Ainsi, si A

contient m éléments, . Autrement dit :

.

Remarques

La probabilité d’un événement élémentaire est pi.

est appelé événement certain et .

Le sous-ensemble vide, noté , est appelé événement impossible et .

3. Comment calculer la probabilité de A union B ?

Soient A et B deux événements d’une même expérience aléatoire.

est l’événement constitué des issues qui appartiennent à A ou à B.

est l’événement constitué des issues qui appartiennent à la fois à A et à B.

Quand , c’est-à-dire quand aucune issue n’appartient à la fois à A et à B, on dit que A et B sont incompatibles.

Si A et B sont quelconques : .

Si A et B sont incompatibles : .

4. Comment calculer la probabilité d’un événement contraire ?

L’événement contraire de A, noté , est l’événement qui se réalise quand A n’est pas réalisé. Il est constitué des issues qui n’appartiennent pas à A.

On a : et .

En utilisant les propriétés du paragraphe précédent, on montre que pour tout événement A :
.

À retenir absolument

Définir une probabilité, c’est associer à chaque issue xi un nombre pi positif de tel sorte que .

La probabilité P(A) d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui le constituent.

Dans le cas équiprobable, .

Si A et B sont deux événements quelconques, alors .

Si A est un événement quelconque, alors .