Probabilités (1re)

Par une lettre du 29 juillet 1654, Blaise Pascal répond à Pierre de Fermat sur le problème des « parties » (Pascal (Blaise), Œuvres complètes, Gallimard, « La Pléiade », p. 77). On peut dater de ce jour la naissance des probabilités. Cette branche des mathématiques prendra son plein essor avec les Bernoulli, puis avec Siméon Poisson, jusqu’à fournir, au xxe siècle, une base théorique nécessaire à la conception des lois scientifiques, utilisées dans des domaines aussi variés que la physique et la sociologie.

1. Comment définir une probabilité ?

On part d’une expérience aléatoire E, c’est-à-dire d’une expérience dont on peut prévoir les issues possibles, mais dont on ne connaît le résultat qu’après sa réalisation.

Première étape : à l’aide d’un arbre, par exemple, on détermine toutes les issues possibles de l’expérience aléatoire. On définit ainsi l’univers  comme l’ensemble de toutes les issues possibles de E. On a :

Seconde étape : à chaque issue on attribue une probabilité, c’est-à-dire qu’à chaque on associe un nombre . Ces nombres doivent vérifier les conditions suivantes :

Pour déterminer les nombres , on a deux possibilités :

• soit on associe à toutes les issues la même probabilité  ; on dit alors que la probabilité est équirépartie ou que l’on est dans une situation d’équiprobabilité ;

• soit on répète l’expérience dans des conditions identiques ; on définit alors comme la fréquence de quand le nombre de répétitions tend vers .

À l’issue de ces deux étapes, on a établi la loi de probabilité que l’on présente sous forme de tableau :

Remarque

La première étape est essentielle. Il s’agit d’abord de bien comprendre l’expérience, de la visualiser, de la simuler pour écrire quelques issues possibles, puis enfin de déterminer toutes les issues de l’expérience. C’est dans ce « toutes » que réside la difficulté.

2. Comment calculer la probabilité d’un événement ?

Soit E une expérience aléatoire et , l’univers associé à E.

On appelle événement de l’expérience aléatoire E, tout sous-ensemble de .

Autrement dit, un événement A est une partie de .

Quand appartient à A, on dit aussi que réalise A.

On appelle événement élémentaire, un événement constitué d’un seul élément de , c’est-à-dire constitué d’une seule issue .

La probabilité P(A) d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui le constituent.
Dans le cas où la probabilité est équirépartie, chaque issue  a pour probabilité  .

Ainsi, si A contient m éléments, .

Autrement dit : P(A) est égal au rapport du nombre d’éléments de A par le nombre d’éléments de .

Remarques

La probabilité d’un événement élémentaire est .

est appelé événement certain ; .

Le sous-ensemble vide, noté , est appelé événement impossible ; .

3. Comment calculer la probabilité de l’union de deux événements ?

Soit A et B deux événements d’une même expérience aléatoire.

est l’événement constitué des issues qui appartiennent à A ou à B.

est l’événement constitué des issues qui appartiennent à la fois à A et à B.

Quand , c’est-à-dire quand aucune issue n’appartient à la fois à A et à B, on dit que A et B sont incompatibles (ou disjoints).

Si A et B sont quelconques : .

Si A et B sont incompatibles (ou disjoints) : .

4. Comment calculer la probabilité d’un événement contraire ?

L’événement contraire de A, noté , est l’événement qui se réalise quand A n’est pas réalisé. Il est constitué des issues de qui n’appartiennent pas à A.

Cela se résume par les relations : et .

En utilisant les propriétés du paragraphe précédent, on montre que, pour tout événement A : .

À retenir absolument

Définir une probabilité, c’est associer à chaque issue un nombre positif de telle sorte que .

La probabilité P(A) d’un événement A est la somme des probabilités des issues qui le constituent.

Dans le cas équiprobable : .

Soit A et B deux événements quelconques : .

Soit A un événement quelconque : .