Primitives

Chercher une primitive et calculer une dérivée sont deux démarches inverses. Mais si une fonction dérivable sur un intervalle n'admet qu'une seule fonction dérivée, une fonction qui admet une primitive en admet automatiquement une infinité. On veillera donc à bien dire que l'on recherche « une » primitive alors que l'on calcule « la » dérivée.

1. Comment définit-on la primitive d'une fonction ?

Toute fonction f, définie et dérivable sur un intervalle I admet une primitive F sur cet intervalle, lorsque F est dérivable sur I et F'(x) = f(x).

Autrement dit, pour vérifier qu'une fonction F est une primitive d'une fonction f, il suffit de vérifier que f est la dérivée de F.

Comme la dérivée d'une fonction constante est nulle, si f admet une primitive sur un intervalle I, alors elle en admet une infinité sur cet intervalle. L'ensemble des primitives de f est donc donné à une constante près.

Par exemple, F, définie sur [0 ; + [ par , est dérivable sur ]0 ; + [ (0 exclu).

C'est une primitive de la fonction f, définie sur le même intervalle par .

En effet :

 ;

 ;

 ;

F'(x) = f(x).

est la primitive de f qui s'annule pour x = 0. L'ensemble des primitives de f est

de la forme : , où c est un nombre réel.

2. Quelles sont les primitives d'une fonction polynôme ?

La fonction puissance f, définie sur par , a pour primitives les fonctions de la

forme où c est un nombre réel. On vérifie aisément que F'(x) = f(x).

Comme la dérivée d'une fonction somme est la somme des fonctions dérivées, la primitive d'une fonction somme est la somme des primitives.

Ainsi, si f est une fonction polynôme définie sur par f(x) = 3x2 + 2x + 1, la famille de ses

primitives est de la forme :

La fonction F(x) = x3 + x2 + x est la primitive particulière pour laquelle F(0) = 0.

3. Quelles sont les primitives d'une fonction rationnelle ?

On peut généraliser la recherche des primitives d'une fonction puissance au cas où l'exposant est un entier relatif différent de –1.

Par exemple, la fonction f définie sur ]0 ; + [ par s'écrit f(x) = x–2. Une primitive de f

est donc : d'où

Pour n = –1, c'est-à-dire pour la fonction inverse, les primitives existent car la fonction est dérivable. Ces primitives ne sont pas des fonctions puissances, elles seront définies ultérieurement.

4. Quelles sont les primitives de la fonction racine carrée ?

La formule s'applique également aux exposants fractionnaires. Ainsi, la fonction racine

admet comme primitive : soit plus simplement :

5. Quelles sont les primitives d'une fonction composée ?

On sait que la dérivée de la fonction composée  est définie par : .
Donc a pour primitive  .

En particulier, la fonction puissance : u' × un a pour primitive :

Par exemple, pour trouver une primitive de f définie sur par on remarque que

c'est-à-dire f(x) = 3 × u'(x) × u–2(x), avec u(x) = x2 + 1 et u'(x) = 2x.

Une primitive de f est donc de la forme soit

À retenir

Une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I admet une primitive F sur cet intervalle si f est la dérivée de F.

Comme la dérivée d'une fonction constante est nulle, si f admet une primitive sur un intervalle I, alors elle en admet une infinité sur cet intervalle. Toutes ces primitives diffèrent d'une constante que l'on désigne généralement par la lettre c.

Pour tout exposant entier ou fractionnaire différent de –1, une fonction f définie sur par f = u

' × un a pour primitives les fonctions