Outils de résolution en géométrie

À l’issue d’une terminale scientifique, l’élève dispose d’un certain nombre de méthodes pour résoudre un problème de géométrie donné : les propriétés des configurations étudiées au collège et approfondies en seconde, le calcul vectoriel, le calcul barycentrique, les transformations, la géométrie analytique ou encore, les applications géométriques des nombres complexes.

Il s’agit donc de choisir, dans une situation donnée, la méthode la plus pertinente. On notera néanmoins que, dans beaucoup de cas, plusieurs méthodes sont envisageables.

1. Quand utiliser la géométrie analytique et quel type de repère choisir ?

La géométrie analytique permet de ramener l’étude de propriétés géométriques à des calculs sur les coordonnées des points. En théorie, il est toujours possible d’y avoir recours, même si l’énoncé ne le précise pas.

Cependant, la géométrie analytique présente deux écueils : les calculs ne doivent pas faire perdre de vue l’interprétation géométrique.

Ainsi si l’on cherche à déterminer l’intersection de deux plans de l’espace en résolvant le système linéaire formé par leurs équations cartésiennes, il faut se souvenir que l’intersection de deux plans est soit l’ensemble vide (les plans sont disjoints), soit une droite (les plans sont sécants) soit un plan (les plans sont confondus) mais ne peut en aucun cas être un point ; par conséquent, le système considéré ne peut avoir une unique solution.

Parfois, la solution est obtenue à l’issue de calculs très lourds que des considérations géométriques auraient pu permettre d’éviter.

• Si on est amené à choisir un repère dans un exercice, on veillera à :

• choisir un repère orthonormal dans toutes les situations où on s’intéresse à des distances, des angles, des conditions d’orthogonalité ;

• choisir un repère orthonormal direct dans le cas où on s’intéresse à des angles orientés ou à des rotations ;

• choisir astucieusement le repère (choix de l’origine et des vecteurs de base) de manière que les points de la figure aient des coordonnées les plus simples possible.

2. Quand utiliser les nombres complexes ?

A priori, la majorité des problèmes de géométrie peuvent être traités dans le cadre des applications géométriques des nombres complexes. On peut ainsi résoudre :

• des problèmes de distances en utilisant les modules ;

• des problèmes d’angles en utilisant les arguments ;

• des problèmes avec des vecteurs, des barycentres en utilisant les affixes ;

• des problèmes de transformations (rotations, translations, homothéties, symétries centrales, etc.) en utilisant l’écriture complexe associée.

Il s’agit là d’un outil particulièrement puissant et facile à mettre en œuvre. Comme dans le cadre de la géométrie analytique, on choisit (judicieusement) un repère orthonormal direct et on cherche les affixes des différents points de la figure.

On remarquera que le traitement des rotations et des composées de transformation, qui est difficile dans le cadre de la géométrie analytique, est extrêmement simplifié par le recours aux nombres complexes.

3. Dans quelles conditions peut-on utiliser les transformations ?
Il est important de relier les configurations usuelles aux transformations. Voici des exemples :

• « ABCD est un parallélogramme de centre O » équivaut à « la translation de vecteur transforme D en C « ou « la symétrie de centre O transforme A en C et B en D » ;

• ABCD est un carré de centre O si et seulement si la rotation de centre O et d’angle transforme A en B et C en D ;

• ABC est un triangle équilatéral si et seulement si la rotation de centre A et d’angle transforme B en C ;

• ABC est un triangle équilatéral de centre O si et seulement si la rotation de centre O et d’angle transforme A en B et B en C.

Pour montrer que trois points sont alignés, on peut prouver que :

• l’un est l’image de l’autre par une homothétie dont le centre est le troisième point ;

• ce sont les images de points alignés par une transformation qui conserve l’alignement.

Pour montrer que des droites sont parallèles, on peut montrer que :

• l’une est l’image de l’autre par une homothétie ou une symétrie centrale ;

• ce sont les images de deux droites parallèles par une transformation qui conserve le parallélisme.

4. Comment déterminer un ensemble de points (lieu géométrique) ?

On considère une figure dont certains éléments sont fixes et d’autres variables.

On connaît l’ensemble décrit par l’un des points variables A et on cherche alors l’ensemble décrit par un autre point variable de la figure, M.

Dans un premier temps, il convient de faire des essais soit à la main soit à l’aide d’un logiciel de géométrie en envisageant plusieurs positions pour les points considérés de manière à pouvoir conjecturer la nature de l’ensemble obtenu.

On peut alors déterminer l’ensemble cherché par recours à la géométrie analytique ou aux nombres complexes. L’ensemble est alors caractérisé par une équation. Ainsi, dans le plan, x2 + y2 = 1 est une équation cartésienne du cercle de centre O et de rayon 1.

On peut aussi procéder à une étude directe (on montre que le point variable étudié appartient à un certain ensemble E) puis à une étude réciproque (on étudie si tout point de l’ensemble E convient).

Enfin, on peut prouver que le point M dont on cherche le lieu géométrique est l’image du point A par une transformation (translation, symétrie, rotation, homothétie). Dans ce cas, il n’est pas nécessaire de procéder à une étude réciproque, les théorèmes du cours fournissant directement une réponse complète à la question.

5. Comment résoudre un problème de construction géométrique ?

Un problème de construction se résout en général en trois étapes principales.

Analyse

On suppose que le problème posé admet une solution et on réalise la figure correspondant à ce qui est demandé. On étudie alors les propriétés de la configuration obtenue (droites parallèles, perpendiculaires, milieux, etc.).

Synthèse

Parmi toutes les propriétés mises en évidence lors de l’étude précédente, on met en évidence les conditions nécessaires à la construction de la figure demandée.

Construction

On réalise matériellement la construction demandée à la règle et au compas en discutant sur l’existence de solutions et le nombre de solutions obtenues.

6. Comment appliquer les méthodes précédentes à la résolution d’un problème ?

Dans la figure ci-dessous, les triangles ABC, BAB’ et CAC’ sont rectangles et isocèles respectivement en C et A. Soit M le milieu du segment [BC]. On se propose de démontrer que les droites (AM) et (B’C’) sont perpendiculaires et que B’C’ = 2AM.

Utilisation des nombres complexes

On rapporte le plan à un repère orthonormal direct d’origine A tel que l’affixe de B’ soit 1.
Voici alors les étapes de résolution :

• déterminer les affixes des points B, C, M, C’ ;

• déterminer les affixes des vecteurs et  ;

• en déduire AM et B’C’ puis une mesure de l’angle  ;

• conclure.

Utilisation des transformations

On considère l’homothétie h de centre B et de rapport 2.

Voici alors les étapes de résolution :

• déterminer les images des points A et M par h ;

• trouver une rotation r telle que transforme A en B’ et M en C’ ;

• conclure.

Utilisation de la géométrie analytique et vectorielle

On rapporte le plan à un repère orthonormal direct d’origine A tel que le point B ait pour coordonnées (1 ; 0).

Voici alors les étapes de résolution :

• déterminer alors les coordonnées des points B, C, M, C’ ;

• calculer le produit scalaire puis les normes des vecteurs et  ;

• conclure.