Organiser et effectuer un calcul sur des nombres relatifs

Si on tape sur une calculatrice la séquence : 3   4   5   , on obtient avec certains modèles : 35 et avec d'autres : 23. Le premier modèle a effectué les calculs dans l'ordre dans lequel ils ont été saisis (3 + 4 d'abord, ce qui donne 7, puis 7 × 5, d'où le résultat : 35), alors que le deuxième a commencé par la multiplication et a effectué ensuite l'addition de 3 avec le résultat (4 × 5 donne 20, puis 3 + 20 donne 23). La calculatrice qui affiche 23 connaît les règles de priorité des opérations (on dit qu'elle est scientifique) alors que l'autre ne les connaît pas.

1. Appliquer les règles de priorité

1.1. En l'absence de parenthèses

Dans une suite de calculs sans parenthèses, on effectue les calculs dans l'ordre suivant :

d'abord les racines carrées ;

puis les puissances (en commençant toujours par celle qui se trouve la plus à gauche) ;

ensuite, les multiplications ou divisions (en commençant toujours par celle la plus à gauche) ;

et enfin les additions ou soustractions (en commençant toujours par celle la plus à gauche).

On dit que les racines carrées ont priorité sur les puissances, que les puissances ont priorité sur les multiplications et les divisions, ces dernières étant prioritaires sur les additions et soustractions.

Exemple : on veut calculer A = 7 + 3 × 4² – 6.

On effectue d'abord le calcul de la puissance :

A = 7 + 3 × 16 – 6.

Puis les multiplications (ou divisions) :

A = 7 + 48 – 6.

Et enfin les additions ou soustractions, de la gauche vers la droite :

A = 55 – 6 ;

A = 49.

1.2. Avec des parenthèses

S'il y a des parenthèses, on effectue les calculs en appliquant les règles précédentes à l'intérieur de chaque paire de parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.

Exemple : on veut calculer B = (–3) + (4 + 5) × (7 – 12 × (5 – 2)).

On effectue les calculs en commençant par la paire de parenthèses la plus intérieure :

B = (–3) + (4 + 5) × (7 – 12 × 3)

On applique les règles de calcul à l'intérieur de chaque paire de parenthèses :

B = (–3) + 9 × (7 – 36)

B = (–3) + 9 × (–29)

B = (–3) + (–261)

B = –264

Remarque : il faut faire attention aux parenthèses sous-entendues. Les exemples suivants montrent comment interpréter certains calculs.

Soit . On doit comprendre : . On a donc : .

Soit . On doit comprendre : . On a donc : .

2. Calculer avec une calculatrice

Reprenons les calculs précédents de A, B, C et D avec une calculatrice scientifique.

2.1. Calcul de A = 7 + 3 × 4² – 6

Il faut généralement taper la séquence suivante (attention, les dessins sur les touches peuvent parfois être différents !) :

7   3   4     6 

En général, le résultat affiché est : 49.

2.2. Calcul de B = (–3) + (4 + 5) × (7 – 12 × (5 – 2))

On tape la séquence :

3     ( 4   5 )   ( 7   1 2 × ( 5 – 2 ) ) 

Il s'affiche le résultat : –264.

Remarque : il faut bien distinguer la touche de la soustraction (touche – ) et la touche +/– (ou (–) ) qui permet de saisir un nombre négatif ou d'obtenir l'opposé du nombre affiché.

2.3. Calcul de

On tape la séquence :

1 1   ( 3   4 )   ( 1 3   5 ) 

On constate que les priorités sont respectées.

Suivant la calculatrice, il s'affiche : 81/8 ou 10,125.

2.4. Calcul de

On tape la séquence :

( 1 6   9 )   

ou bien :   ( 1 6   9 ) 

Il s'affiche : 5.

Remarques :

il existe une touche pour calculer les puissances :

ou ou ou ,etc. ;

Par exemple, pour calculer 53, on tape la séquence :

5   3 

et il s'affiche : 125.

il existe une touche pour calculer les inverses :

ou , etc.

Par exemple, pour calculer , le plus simple est de taper la séquence :

3   2   

et il s'affiche en général : 0,2.