Nombres complexes

Au xvie siècle, les mathématiciens italiens Jérôme Cardan et Raffaele Bombelli ont introduit des nombres « imaginaires » ayant un carré négatif, pour résoudre des équations du troisième degré.

Deux siècles plus tard, Leonhard Euler et Jean le Rond d’Alembert ont parachevé la création des nombres complexes et fixé les notations actuelles, en particulier celle du nombre i.

Aujourd’hui, les nombres complexes sont utilisés non seulement dans toutes les branches des mathématiques, en particulier en trigonométrie et en géométrie, mais aussi dans d’autres sciences comme la physique.

1. Quelles sont les différentes formes sous lesquelles peut se présenter un nombre complexe non nul ?

Un nombre complexe z, non nul, admet trois types d’écriture :

• une écriture algébrique : z = x + iy, où x et y sont deux nombres réels ; x est la partie réelle de z et y, sa partie imaginaire ;

• une écriture trigonométrique : , où r désigne le module de z et un argument de z,

• une écriture exponentielle :

• Selon le cas, on privilégie l’une ou l’autre écriture.

2. Comment calculer le module et un argument d’un nombre complexe z non nul ?

Si le nombre complexe z est donné sous sa forme algébrique z = x + i y, on commence par

calculer le module r à l’aide de la formule :

Puis on détermine un argument de z en calculant : et

Soient deux nombres complexes z et z’.

Dans le cas où Z = zz’, le module de Z est égal au produit des modules de z et de z’ et l’argument de Z est égal à la somme des arguments de z et de z’, modulo 2 .

Cela signifie que : , où

On peut aussi écrire plus simplement : ou .

Dans le cas où , le module de Z s’obtient en divisant le module de z par le module de z’ et l’argument de Z est égal à la différence des arguments de z et de z’, modulo 2 .

3. Comment résoudre une équation dans l’ensemble des nombres complexes ?

On rencontre essentiellement trois types d’équations dans l’ensemble .

Dans le cas d’une équation du premier degré de la forme az + b = c, avec a non nul, les méthodes de résolution sont les mêmes que dans .

Dans le cas d’une équation du second degré à coefficients réels de la forme az2 + bz + c = 0, où a est un réel non nul, on calcule le discriminant de l’équation :

Si , alors l’équation admet une racine double.

Si , alors l’équation admet deux racines réelles. Dans ce cas comme dans le précédent, les méthodes de résolution sont les mêmes que dans

Si , alors l’équation admet deux racines complexes conjuguées : .

Dans le cas d’une équation faisant intervenir , le conjugué de z, ou son module |z|, on pose puis on fait appel au théorème suivant : deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

4. Quel lien y a-t-il entre la géométrie plane et les nombres complexes ?

Les nombres complexes constituent un outil privilégié pour résoudre de manière simple de nombreux problèmes de géométrie.

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct, l’image du nombre complexe z = a + ib est le point M de coordonnées (a ; b). On dit alors que z est l’affixe du point M.

L’affixe du vecteur est le nombre complexe

L’affixe du milieu du segment [AB] est la demi-somme des affixes des points A et B.

Il est impératif de connaître aussi :

• le lien entre les distances et les modules :  ;

• le lien entre les angles et les arguments :  ;

• enfin le lien entre les transformations et les nombres complexes (voir le paragraphe 5).

5. Quel lien y a-t-il entre les transformations et les nombres complexes ?

Chacune des trois transformations au programme a une expression complexe :

• la translation de vecteur d’affixe b a pour expression complexe z’ = z + b ;

• la rotation de centre  , d’affixe  et d’angle  a pour expression complexe :  ;

• soit k un nombre réel non nul ;  l’homothétie de centre  , d’affixe  et de rapport k a pour expression complexe :

À retenir

Un nombre complexe z, non nul, admet trois types d’écriture :

• une écriture algébrique : z = a + ib, où a et b sont deux nombres réels ; a est la partie réelle de z et b, sa partie imaginaire ;

• une écriture trigonométrique : , où r désigne le module de z et un argument de z,

• une écriture exponentielle :

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Pour multiplier des nombres complexes non nuls, on multiplie leurs modules et on ajoute leurs arguments.

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé direct, l’image du nombre z = a + ib est le point M de coordonnées (a ; b). On dit alors que z est l’affixe du point M.