Mettre un problème en équation (4e)

Une bouteille et son bouchon ont une masse totale de 110 g. La bouteille seule pèse 100 g de plus que le bouchon. Quelle est la masse du bouchon ?

Si on répond sans réfléchir, on a envie de dire que la masse du bouchon est de 10 g, ce qui est faux. En effet, la bouteille pèserait 100 g de plus, donc 110 g, et au total la bouteille et le bouchon pèseraient 120 g (110 + 10 = 120). En réalité le bouchon a une masse de 5 g et la bouteille une masse de 105 g.

Comment résoudre un problème à l'aide d'une équation et éviter ce type d'erreur ?

1. Un problème numérique : le jardinier

1.1. Énoncé

Pour fleurir un parterre, un jardinier plante des bulbes de tulipes. Le tiers des bulbes donnera des tulipes rouges, le quart donnera des tulipes blanches, le sixième donnera des tulipes noires et un autre sixième des tulipes jaunes. Enfin, il plante 3 bulbes de tulipes roses.

Combien de bulbes le jardinier a-t-il plantés ?

1.2. Choix de l'inconnue

Soit x le nombre total de bulbes plantés ; x est un entier positif.
Remarques :

choisir une inconnue revient à imaginer qu'on connaît déjà la réponse ;

très souvent, il est commode de choisir comme inconnue ce qu'on demande de trouver (ici, le nombre de bulbes plantés).

1.3. Mise en équation du problème

Mettre le problème en équation revient à traduire l'énoncé en fonction de x.

Le jardinier plante :  tulipes rouges ;  tulipes blanches ;  tulipes noires ;  tulipes jaunes ; et enfin 3 tulipes roses.

Il a planté au total x bulbes de tulipes.

Exprimons d'une autre manière le nombre total de bulbes plantés, en faisant la somme des

nombres de bulbes de chaque espèce :  bulbes ont été plantés.

On a donc l'équation : .

1.4. Résolution de l'équation

On regroupe tous les x dans le premier membre (ce qui revient à retrancher  dans

les deux membres). On obtient :

Factorisons x dans le premier membre :

En réduisant au même dénominateur, on obtient :

On multiplie chaque membre par 12 : x = 36

1.5. Retour au problème

Le jardinier a planté au total 36 tulipes.

En effet, il y a : 12 tulipes rouges , 9 tulipes blanches , 6 tulipes noires et

6 tulipes jaunes et 3 tulipes roses.

On vérifie que : 12 + 9 + 6 + 6 + 3 = 36.

2. Un problème géométrique : le bassin

2.1. Énoncé

On souhaite creuser dans un parc un bassin rectangulaire entouré d'une allée de 2 m de large.

La largeur du bassin est de 8 m. Quelle doit être la longueur du bassin pour que l'aire du bassin soit égale à l'aire de l'allée ?

2.2. Choix de l'inconnue et mise en équation

Soit x la longueur en mètres du bassin. x est un nombre positif.

Le bord extérieur de l'allée forme un rectangle (ABCD sur la figure 1). Sa largeur est de 12 m (2 + 8 + 2 = 12). Exprimons sa longueur à l'aide de x : sa longueur en mètres est x + 4 (2 + x + 2 = x + 4).

L'aire de ce grand rectangle en m² est donc : 12 (x + 4).

L'aire du bassin est (en m²) : 8x.

Dire que l'aire de l'allée est égale à l'aire du bassin revient à dire que l'aire du grand rectangle est le double de l'aire du bassin. On a donc l'équation : 12(x + 4) = 2 × 8x.

2.3. Résolution de l'équation

Développons le premier membre. On obtient : 12x + 48 = 16x

On regroupe tous les x dans le deuxième membre (ce qui revient à retrancher 12x dans les deux membres).

On obtient : 48 = 16x – 12x

48 = 4x

On divise chaque membre par 4 :

12 = x

2.4. Retour au problème

La longueur du bassin doit être de 12 m pour que les aires du bassin et de l'allée soient égales.

On vérifie en effet que l'aire du bassin est alors de 96 m² (8 × 12 = 96) et que l'aire de l'allée est aussi de 96 m² ((12 × 16) – 96 = 96).