Limites et asymptotes

Déterminer des limites éventuelles d’une fonction n’a d’intérêt que lorsque la variable tend vers une borne ouverte de l’ensemble de définition de cette fonction. Ces limites permettent de connaître le comportement de la fonction — donc de sa courbe représentative — pour des valeurs de la variable proches de ces bornes ouvertes. C’est ainsi que l’on peut mettre en évidence la présence éventuelle d’asymptotes verticales, horizontales ou obliques.

Dans toute la suite, désigne soit , soit , soit un réel a, et désigne ou .

1. Qu’est-ce que la limite d’une fonction en alpha

Soit f une fonction définie au voisinage de .

La limite de f en est , et on note , si tout intervalle de la forme , où , contient tous les réels dès que x est suffisamment proche de .

La limite de f en est , et on note , si tout intervalle de la forme , où , contient tous les réels dès que x est suffisamment proche de .

La limite de f en est le réel l, et on note , si tout intervalle de la forme , où r > 0, contient tous les réels dès que x est suffisamment proche de .

2. Quelles sont les limites des fonctions de référence ?

3. Que sont les théorèmes d’opérations sur les limites ?

On désigne par l et l’ deux réels et par f et g deux fonctions définies au voisinage de .

Dans les tableaux suivants, « ? » signifie que l’on ne peut pas conclure directement : il s’agit d’une forme indéterminée.

Limite d’une somme :

Limite d’un produit :

Limite d’un quotient

On se ramène au cas précédent pour car .

Limite d’une fonction composée

Si désignent ou ou des nombres réels, et si u et v sont deux fonctions telles

que : et ,

alors .

4. Que faire face à une « forme indéterminée » ?

Les « ? » du paragraphe précédent signifient que l’on ne peut pas conclure directement : on est en présence d’une « forme indéterminée », c’est-à-dire devant une limite de la forme

«   », «   », «   » ou «   ».

Pour « lever » cette indétermination, il faut utiliser une transformation d’écriture, soit en factorisant par le terme dominant (cas des fonctions polynômes et rationnelles quand ou ), soit en utilisant la quantité conjuguée (cas des fonctions racines carrées), soit en revenant à la définition du nombre dérivé (cas des fonctions sous forme d’un taux d’accroissement).

5. Comment détermine-t-on la présence d’asymptotes à la courbe d’une fonction ?

Si , où , alors la courbe de f admet une asymptote verticale d’équation .

Si , où , alors la courbe de f admet une asymptote horizontale d’équation ,

en .

Si , où * et , alors la courbe de f admet une asymptote oblique

d’équation , en .

À retenir absolument

Limites des fonctions usuelles :

 ;

 ;  ;

 ; et .

Les quatre formes indéterminées sont du type : «   », «   », «   » et

«   ».

Si , alors est asymptote horizontale à la courbe de f en .

Si , alors est asymptote verticale à la courbe de f.

Si , où , alors est asymptote oblique à la courbe de f en

.