Limites (Terminale)

Les calculs de limites et la recherche d'asymptotes ont été abordés en classe de première. Nous en rappelons les résultats essentiels. On constatera par ailleurs que, par simple comparaison avec les fonctions de référence, on peut déterminer facilement les limites d'une fonction donnée aux bornes de son ensemble de définition.

1. De quelles fonctions faut-il connaître les limites ?

Il faut connaître les limites en + des fonctions de référence (racine, carré, cube et inverse) :

Seule la fonction inverse a une limite finie en + (lorsque x tend vers tend vers 0 par valeurs supérieures à 0, donc positives).

Pour en déduire les limites en + , on doit se rappeler que la parabole représentant la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et que la courbe représentant la fonction

cube est symétrique par rapport à l'origine : et

Les deux branches de l'hyperbole d'équation sont également symétriques par rapport à

l'origine, d'où : (lorsque x tend vers tend vers 0 par valeurs inférieures à 0, donc négatives).

En 0, seule la fonction inverse n'est pas définie. Il faut donc connaître sa limite, lorsque x tend

vers 0, par valeurs supérieures à 0 :

On déduit par symétrie sa limite en 0, par valeurs inférieures à 0 :

On mémorisera ces résultats à l'aide de la représentation graphique ci-dessous :

Remarque :

• Au voisinage de l'infini, les deux branches de l'hyperbole se rapprochent de l'axe des abscisses qui est une asymptote au voisinage de – et + .

• Au voisinage de l'origine O, elles se rapprochent de l'axe des ordonnées qui est une asymptote au voisinage de 0.

• Pour connaître la limite d'une fonction quelconque, on décompose cette fonction en une somme, une combinaison linéaire, un produit, un quotient ou une composée de fonctions de référence.

2. Une fonction a-t-elle toujours une limite aux bornes de son ensemble de définition ?

Hormis certaines fonctions, comme les fonctions trigonométriques sinus ou cosinus qui oscillent entre –1 et 1 et qui ne peuvent donc pas avoir de limite à l'infini, les fonctions étudiées au lycée ont des limites aux bornes de leur ensemble de définition.

En revanche, certaines fonctions ne permettent pas de conclure directement. En effet, les

opérations sur les limites telles que , , et sont des formes indéterminées. Pour lever l'indétermination, il faut transformer l'écriture de la fonction.

Ainsi, la limite de la fonction  est indéterminée en  + . Pour obtenir sa limite,

on multiplie numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du numérateur :

 ;

 ;

Comme  et  alors :

3. Quelles sont les limites, aux bornes de leur ensemble de définition, d'une fonction polynôme et d'une fonction rationnelle ?

La limite à l'infini d'une fonction polynôme est la limite de son terme de plus haut degré.

Ainsi, , considérée comme la limite de la différence de deux fonctions monômes

et , conduit à la forme indéterminée .

Factorisons x avec son plus grand exposant, puis calculons

Comme et , on en déduit que :

La limite de 2x3 – 3x2 en + est donc la limite de son terme de plus haut degré 2x3.

Plus directement, on écrira :

Une fonction rationnelle est le quotient de deux fonctions polynômes. Pour lever les

indéterminations au voisinage de l'infini telles que ou , on calcule la limite du quotient des termes de plus haut degré.

On écrira par exemple :

Si le dénominateur s'annule pour une valeur réelle, on calcule séparément la limite du numérateur et celle du dénominateur au voisinage de cette valeur interdite.

Par exemple, pour la fonction g définie sur ]1 ; + [ par , il faut calculer la limite de g(x) lorsque x s'approche de 1, par valeurs supérieures à 1 :

4. Comment peut-on déterminer une limite par comparaison avec une autre fonction ?

Si f(x) < g(x) pour toute valeur de x sur l'intervalle ]a ; + [, alors la représentation graphique de f, sur cet intervalle, est au-dessous de la représentation graphique de g.

Donc si alors

De même, si l'on a cette inégalité sur l'intervalle ]–  ; a] et si , alors

Si f(x) < g(x) < h(x) au voisinage d'une valeur réelle a et si , alors

Cette méthode, qui consiste à déterminer la limite d'une fonction en l'encadrant par deux fonctions de même limite au voisinage d'un réel donné, s'appelle « la méthode des gendarmes ».

5. Comment sait-on qu'une courbe possède une ou plusieurs asymptotes ?

Lorsque la limite est infinie au voisinage d'une valeur pour laquelle la fonction n'est pas définie, la courbe admet une asymptote verticale.

Si , alors la courbe de f admet pour asymptote verticale la droite d'équation x = a au voisinage de a.

Lorsque la limite à l'infini est finie, la courbe possède une asymptote horizontale.

Si , alors la courbe de f admet pour asymptote horizontale la droite d'équation y = b au voisinage de + .

Si , alors la courbe de f admet pour asymptote oblique la droite d'équation y = ax + b au voisinage de + . La courbe est au-dessus de l'asymptote lorsque la différence est positive, sinon elle est au-dessous.

À retenir

À l'infini, une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.

À l'infini, une fonction rationnelle a la même la limite que le quotient de ses termes de plus haut degré.

Si deux fonctions f et h encadrent une troisième fonction g sur un intervalle et si les fonctions f et h ont la même limite à l'infini ou en un point donné, alors g a la même limite que ses deux « gendarmes ».

Il existe quatre formes pour lesquelles la détermination de la limite est impossible :