Limites (Terminale)

Déterminer des limites éventuelles d'une fonction n'a d'intérêt que lorsque x tend vers une borne ouverte de l'ensemble de définition Df de f.

Cette condition étant remplie, cela permet de connaître le comportement de f pour des valeurs de x proches de ces bornes ouvertes de Df. C'est ainsi que l'on peut mettre en évidence la présence éventuelle d'asymptotes verticales, horizontales ou obliques à la courbe de f.

Dans le développement qui suit :

désigne soit + soit – , soit un réel a,

désigne + ou –

1. Qu'est-ce que la limite d'une fonction en ou d'une suite en +  ?

Soit f une fonction définie au voisinage de .

— La limite de f en est + et on note , si tout intervalle de la forme , où , contient tous les réels f(x) dès que x est suffisamment proche de

— La limite de f en est – et on note , si tout intervalle de la forme , où , contient tous les réels f(x) dès que x est suffisamment proche de .

— La limite de f en est le réel l et on note , si tout intervalle de la forme ]l – r ; l + r[, où r > 0, contient tous les réels f(x) dès que x est suffisamment proche de .

On adapte ces définitions aux suites mais on a alors et, dans le cas d'une suite (Un), on écrit :

ou ou

2. En quoi consistent les théorèmes d'opération sur les limites ?

On désigne par l et l' deux réels et par f et g deux fonctions définies au voisinage de .

Dans les tableaux suivants, « ? » signifie que l'on ne peut pas conclure directement : il s'agit d'une « forme indéterminée »  (voir le paragraphe 3).

Limite d'une somme

Limite d'un produit

Limite d'un quotient

Et on se ramène au cas précédent pour

Limite d'une fonction composée

Si désignent ou ou des nombres réels et si u et v désignent deux fonctions

telles que : et alors

3. Que faire face à une « forme indéterminée » ?

Les « ? » du paragraphe précédent signifient que l'on ne peut pas conclure directement : on est en présence d'une « forme indéterminée » , donc devant une limite de la forme

Pour « lever » cette indétermination, il faut transformer l'écriture de la fonction, soit en factorisant par le terme dominant (cas des fonctions polynômes et rationnelles quand ou ), soit en utilisant la quantité conjuguée (cas des fonctions racines carrées), soit en revenant à la définition du nombre dérivé (cas des fonctions étant sous la forme d'un taux d'accroissement).

4. Qu'appelle-t-on les théorèmes de limite par comparaison ?

On peut déterminer des limites de suites ou de fonctions par comparaison avec des fonctions connues, en utilisant les théorèmes cités ci-dessous.

Soit f, g et h, trois fonctions définies au voisinage de et l un réel :

• si, au voisinage de ,  ;

• si, au voisinage de ,  ;

• si, au voisinage de , (théorème des gendarmes).

Toute suite croissante (respectivement décroissante), non majorée (respectivement non minorée) a pour limite + (respectivement – ).

Toute suite croissante et majorée (respectivement décroissante et minorée) est convergente, c'est-à-dire admet une limite finie.

5. Comment détermine-t-on la présence d'asymptotes à la courbe d'une fonction ?

Si , où , alors la courbe de f admet une asymptote verticale d'équation x = a.

Si , où , alors la courbe de f admet une asymptote horizontale d'équation y = b, en .

Si , où et , alors la courbe de f admet une asymptote oblique d'équation y = mx + p, en .

À retenir

, si tout intervalle de la forme , où , contient tous les réels f(x) dès que x est suffisamment proche de .

, si tout intervalle de la forme , où , contient tous les réels f(x) dès que x est suffisamment proche de .

Il existe quatre formes pour lesquelles la détermination de la limite est impossible : formes

Si deux fonctions f et h encadrent une troisième fonction g sur un intervalle et si les fonctions f et h ont la même limite à l'infini ou en un point donné, alors g a la même limite que les deux fonctions qui l'encadrent.