Formules de dérivées et applications de la dérivation

Pour déterminer la fonction dérivée d'une fonction sur un intervalle donné, on peut revenir à la définition du nombre dérivé en un point a. On calcule alors la limite du taux d'accroissement de cette fonction entre x et a, lorsque x tend vers a. Ce calcul « à la main » est souvent très long et laborieux. Dans la pratique, on calcule une fonction dérivée en utilisant les formules des dérivées des fonctions usuelles, ainsi que les propriétés des opérations sur ces fonctions dérivées.

Les applications de l'étude des fonctions dérivées sont nombreuses. Parmi celles-ci, citons : la détermination du sens de variation d'une fonction dérivable sur un intervalle, le calcul des extrema locaux, des majorants et minorants éventuels, le calcul de limites, etc.

1. Quelles sont les fonctions dérivées des fonctions usuelles ?

La fonction affine , où a et b sont des réels, est dérivable sur et sa fonction dérivée est .

La fonction puissance , où , est dérivable sur les intervalles où elle est définie ( si et si n < 0) et sa fonction dérivée est : .

La fonction racine carrée est dérivable sur et sa fonction dérivée est :

.

La fonction cosinus est dérivable sur et sa fonction dérivée est : .

La fonction sinus est dérivable sur et sa fonction dérivée est : .

Les deux premiers résultats permettent de retrouver rapidement ceux qui suivent :

la fonction constante où est un réel fixé, est dérivable sur et sa fonction dérivée est :  ;

la fonction carré est dérivable sur et sa fonction dérivée est :  ;

la fonction inverse est dérivable sur et sa fonction dérivée est : .

2. Comment calculer la dérivée d'une fonction grâce aux opérations sur les fonctions dérivées ?
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I ouvert de . On a les propriétés suivantes :

est dérivable sur I et .

est dérivable sur I et .

, où , est dérivable sur I, et, si u ne s'annule pas sur I, , où / , est dérivable sur I. De plus : .

De ces propriétés, on déduit les suivantes :

• si v ne s'annule pas sur I, est dérivable sur I et  ;

• si v ne s'annule pas sur I, est dérivable sur I et  ;

• si k est un réel fixé, ku est dérivable sur I et .

3. Quelle est la fonction dérivée de la fonction composée qui à x associe g (ax + b) ?

Soit f la fonction affine où a et b sont des réels, et g une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I. Soit J un intervalle ouvert tel que si , alors .

Alors la fonction définie sur J par est dérivable sur J et, pour tout , .

Remarque

Le théorème plus général donnant la dérivée d'une fonction composée sera vu en terminale ; g est alors une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et f une fonction dérivable sur un intervalle J à valeurs dans I (mais plus nécessairement affine).

4. Quel est le lien entre la fonction dérivée f' et le sens de variation d'une fonction f dérivable sur un intervalle ouvert ?

Le théorème suivant est admis :

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert de . On note f' sa dérivée sur I :

• si sur I, alors f est constante sur I ;

• si > 0 sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points isolés où , alors f est strictement croissante sur I ;

• si < 0 sur I, sauf éventuellement en un nombre fini de points isolés où , alors f est strictement décroissante sur I.

5. Comment détermine-t-on les extrema locaux éventuels d'une fonction dérivable sur un intervalle ouvert ?

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle de et x0 un réel de cet intervalle.

Si f' s'annule en x0 en changeant de signe, alors f admet un extremum (maximum ou minimum) local en x0.

Remarques

Le tableau de variation de f permet de visualiser rapidement ces extrema locaux et également de déterminer si ce sont des extrema absolus.

La recherche d'extrema locaux est utile pour résoudre des problèmes d'optimisation en sciences physiques, en économie, etc.

6. Comment détermine-t-on une majoration, une minoration ou un encadrement d'une fonction sur un intervalle ?

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de .

Un majorant M de f sur I est un réel tel que, pour tout , .

Un minorant m de f sur I est un réel tel que, pour tout , .

Dans le cas où f admet à la fois un minorant m et un majorant M sur I, alors un encadrement de f sur I est : .

À retenir absolument

Il faut connaître les formules de dérivées suivantes :

si ou si