Fonctions composées

Pour trouver l'image d'un nombre par la composée  , on applique successivement la fonction g, puis la fonction f. La notion de composition a été abordée en classe de première. Il s'agit ici de rappeler les résultats essentiels concernant le sens de variation et les limites de la fonction composée. On verra plus tard, à propos des fonctions logarithmes et exponentielles, que ces fonctions peuvent être composées avec d'autres fonctions de référence.

1. Que signifie f o g (« f rond g ») ?

Le symbole « o » est le signe d'une opération appelée composition effectuée sur les fonctions f et g. Pour trouver l'image d'un nombre par la fonction composée , on applique successivement les deux fonctions, en commençant par celle de droite : ici, g. On retrouve la notation de la classe de première en écrivant l'égalité : .

Par exemple : si f et g sont deux fonctions définies sur , par : f(x) = 3x – 1 et g(x) = –2x + 4 alors .

On trouve l'image par f du réel (–2x + 4) en le multipliant par 3, puis en soustrayant 1 au résultat :

f(–2x + 4) = 3 × (–2x + 4) – 1 ;

f(–2x + 4) = –6x + 12 – 1 ;

f(–2x + 4) = –6x + 11.

D'où : .

Attention, n'est généralement pas égale à  : .

On trouve l'image par g du réel (3x – 1) en le multipliant par –2, puis en ajoutant 4 au résultat :

g(3x – 1) = –2 × (3x – 1) + 4 ;

g(3x – 1) = –6x + 2 + 4 ;

g(3x – 1) = –6x + 6 ;

.

2. Quel est l'ensemble de définition de la fonction composée ?

L'ensemble de définition de est l'ensemble des nombres de l'ensemble de définition de g, ayant leurs images dans l'ensemble de définition de f : .

Ainsi, si f est définie sur [–4 ; 4] par f(x) = x + 3 et si g est définie sur [0 ; 5] par g(x) = 2x, alors est obtenu en résolvant :

 ;

 ;

.

D'où : .

3. Comment détermine-t-on le sens de variation d'une fonction composée ?

Le sens de variation d'une fonction dépend du signe de sa dérivée. On détermine la dérivée d'une fonction composée en appliquant la relation : .

Ainsi pour dériver la fonction h, définie sur par h(x) = (–2x + 1)3, on pose g(x) = –2x + 1.

D'où g'(x) = –2.

Comme (g3)' = 3g2g', alors h'(x) = 3(–2x + 1)2 × (–2) = –6(–2x + 1)2.

La dérivée étant toujours négative, la fonction g est décroissante.

Plus directement, on peut utiliser la règle vue en première :

• si une fonction est la composée de deux fonctions de même sens de variation, alors elle est croissante ;

• si une fonction est la composée de deux fonctions de sens de variation différents, alors elle est décroissante.

Dans l'exemple précédent, la fonction h est la composée de la fonction affine décroissante par la fonction cube, croissante sur . Elle est donc décroissante sur .

4. Comment détermine-t-on les limites aux bornes d'une fonction composée ?

Si g est la composée de u suivie de f, on détermine d'abord la limite de u, puis la limite de f au voisinage de la limite de u.

Si et si , alors

Le raisonnement est identique au voisinage de l'infini.

Par exemple, pour calculer , on pose u(x) = x2 – x.

Au voisinage de l'infini, la limite de la fonction polynôme u est la limite de son terme de plus haut degré :

Comme , alors (lorsque x s'approche de – , l'expression s'approche de 0 par valeurs positives).

À retenir

La fonction désigne la composée de la fonction g, suivie de la fonction f. Par définition .

L'ensemble de définition de est l'ensemble des nombres de l'ensemble de définition de g ayant leurs images dans l'ensemble de définition de f.

La fonction est croissante lorsque f et g ont le même sens de variation, sinon elle est décroissante.

La dérivée de est le produit de .

Pour calculer la limite de , on calcule d'abord la limite de g, puis la limite de f au voisinage de la limite de g.