Fonction exponentielle de base a

On appelle fonction exponentielle de base a la fonction , dans laquelle la variable x apparaît en exposant. Les fonctions exponentielles de base a peuvent être converties en fonctions exponentielles de base e à l'aide de la fonction logarithme népérien. Pour cela a doit être strictement positif. Ces fonctions permettent de modéliser des évolutions à taux constant.

Elles sont aussi utilisées lorsque les points d'un nuage (x ; y) ne sont pas suffisamment alignés pour réaliser un ajustement affine.

1. Comment transforme-t-on une exponentielle de base a en une exponentielle de base e ?

Pour a > 0, on sait que y = ax équivaut à ln y = ln ax = x ln a.

Comme l'exponentielle de base e est une fonction strictement croissante, on en déduit : eln y = exln a, soit y = ex ln a.

Donc y = ax équivaut à y = ex ln a.

2. Quel est le sens de variation des fonctions ax ?

La fonction f définie sur par f(x) = ax, c'est-à-dire f(x) = ex ln a, est la composée de la fonction linéaire , suivie de la fonction exponentielle de base e.

Sachant que , alors .

La fonction exponentielle étant strictement positive, la dérivée est du signe de ln a.

Pour 0 < a < 1, ln a est négatif donc la fonction ax est décroissante.

Pour a > 1, ln a est positif donc la fonction ax est croissante.

Notons que, pour a = 1, la fonction ax est constante.

On vérifie graphiquement les différents sens de variation en traçant les courbes d'équations y = 0,5x, y = 1x et y = 2x.

3. Quelles sont les limites de ax en –∞ et +∞ ?

Pour 0 < a < 1, ln a est négatif.

Donc au voisinage de – , on obtient : d'où :

De même, au voisinage de +  : d'où :

La courbe admet l'axe des abscisses pour asymptote au voisinage de + .

Pour a > 1, ln a est positif.

Donc, au voisinage de  : d'où :

La courbe admet l'axe des abscisses pour asymptote au voisinage de – .

De même, au voisinage de  : d'où :

4. Par quelles fonctions traduit-on une évolution à taux constant ?

On sait qu'augmenter une quantité Q0 de t % sur une période revient à la multiplier par le coefficient multiplicateur (1 + t).

Donc au bout de n périodes, la quantité obtenue sera : Qn = Q0(1 + t)n.

De même, diminuer cette quantité de t % sur une période revient à la multiplier par (1 – t).

Donc au bout de n périodes, la quantité obtenue sera : Qn = Q0(1 – t)n.

Par exemple, pour calculer la valeur acquise au bout de 10 ans par un capital de 10 000 € placés à 5 % l'an à intérêts composés, on affiche sur la calculatrice : 10 000 × 1,0510.

La valeur acquise est de 16 288,95 €.

(Dans un placement à intérêts composés, les intérêts sur une période s'ajoutent au capital pour produire à leur tour des intérêts. On dit que l'on capitalise les intérêts.)

5. Qu'est-ce qu'un ajustement exponentiel ?

Quand, dans une série statistique à deux variables, les points ne sont pas suffisamment alignés, on peut déterminer si le coefficient de corrélation linéaire est plus proche de 1 ou de –1 en utilisant les coordonnées .

Dans ce cas, on en déduit une relation de la forme entre les deux grandeurs à corréler. Ensuite, y se déduit de x, par passage à l'exponentielle : .

D'où : .

Soit plus simplement : , étant une constante réelle positive.

À retenir

L'égalité y = ax équivaut à y = ex ln a.

La fonction f définie sur par f(x) = ax a pour dérivée f'(x) = ln a × ex ln a.

La fonction exponentielle étant strictement positive, le signe de la dérivée dépend du signe de ln a.

Pour a > 1 :

Pour 0 < a < 1 :