Fonction dérivée

On dit qu’une droite est tangente à une courbe en un point si on peut la superposer localement à cette courbe en grossissant le voisinage du point.

Seul le calcul préalable du coefficient directeur de la tangente permet d’obtenir un tracé correct.

Ce coefficient directeur s’appelle le nombre dérivé. Pour le calculer, on peut déterminer la fonction dérivée en utilisant les règles de dérivation.

Quand on détermine le sens de variation de la fonction, on peut, au lieu d’observer si les images sont dans le même ordre que les valeurs de la variable, considérer le signe du coefficient directeur de la tangente en tout point de sa représentation graphique : on fait alors l’étude du signe de la dérivée.

1. Comment calculer le nombre dérivé d’une fonction en un point ?

Si A(a ; f(a)) et B(a + h ; f(a + h)) sont deux points de la courbe représentant la fonction f, alors la droite (AB) a pour coefficient directeur :

.

Lorsque B se rapproche de A, ce coefficient directeur se rapproche, en général, d’une valeur limite. On dit alors que la fonction est dérivable en x = a et on appelle cette limite : le nombre dérivé de f en a ; on le note .

.

Interprétation graphique : lorsque les points A et B sont confondus, on obtient une droite de coefficient directeur . C’est la tangente à la courbe au point A(a ; f(a)), dont une équation est : .

2. Comment calculer la fonction dérivée d’une fonction de référence ?

On ne calcule qu’exceptionnellement le nombre dérivé à l’aide de la limite. La fonction dérivée permet d’obtenir ce nombre beaucoup plus facilement.

Une fonction est dérivable sur un intervalle I si sa courbe admet, en tout point dont l’abscisse est dans I, une tangente, c’est-à-dire une droite que l’on peut confondre avec la courbe si l’on est suffisamment près du point de contact. Ce qui se dit aussi : f est dérivable sur I si f est dérivable en tout réel x de I.

La fonction dérivée de f, notée f’ est la fonction qui, à tout réel x de I, associe le nombre dérivé .

Les fonctions affines sont dérivables sur . Leur dérivée est une fonction constante, égale à leur coefficient directeur.

Si , alors on a :

.

Donc pour tout réel .

On remarque que les fonctions constantes ont une dérivée nulle. On peut mémoriser ce résultat en pensant qu’en tout point une droite est sa propre tangente.

Les dérivées des fonctions puissances, inverse et racine se calculent à l’aide de la formule générale : si alors .

On obtient :

• si , alors  ;

• si , alors  ;

• si , alors  ;

• si , alors .

Remarque

Attention : les fonctions carré, cube et inverse sont dérivables sur leur ensemble de définition. Ce n’est pas le cas pour la fonction racine, qui est définie en 0, mais qui n’est pas dérivable en ce point.

3. Comment dérive-t-on une fonction définie comme une somme, un produit, un quotient ou une composée de deux fonctions ?

La dérivée de la somme de deux fonctions se calcule très simplement :

si alors .

Il en est de même pour le produit d’une fonction par un réel :

si alors .

Pour le produit ou le quotient de deux fonctions, on identifie d’abord les fonctions f et g pour en calculer préalablement les dérivées. Il suffit alors de remplacer les résultats obtenus dans l’une des formules suivantes :

si alors  ;

si alors .

Si une fonction u est la composée d’une fonction g, suivie d’une fonction f, on dérive d’abord la fonction f, puis on multiplie sa dérivée par celle de la fonction g.

si alors .

4. Comment déduit-on le sens de variation d’une fonction du signe de sa dérivée ?

En grossissant suffisamment le voisinage du point de contact de la courbe et de sa tangente on vérifie que les deux tracés sont très proches l’un de l’autre. Le sens de variation de la fonction est alors le même que celui de la fonction affine représentée par la tangente.

On en déduit que, sur un intervalle I :

• si f’(x) > 0, alors la fonction f est strictement croissante ;

• si f’(x) < 0, alors la fonction f est strictement décroissante ;

• si , alors la fonction f est constante.

5. Quelle est la valeur approchée de (1 + x)n lorsque x est très petit ?

La fonction f, définie sur  , par ,   , a pour dérivée : .

La tangente à la courbe représentant f, au point (0 ; 1), a pour coefficient directeur .

L’équation réduite de la tangente est alors donnée par :

Comme au voisinage de 0, x a sensiblement la même image par la fonction f et par la fonction affine représentée par la tangente, on peut écrire :

Remarque

Ainsi, pour un taux t faible, n hausses successives de t % équivalent à une hausse de nt %.

À retenir absolument

Le signe de la dérivée d’une fonction permet de connaître le sens de variation de cette fonction. Une fonction de dérivée positive est croissante, une fonction de dérivée négative est décroissante, une fonction de dérivée nulle est constante.

La dérivée d’une fonction affine est une fonction constante égale à son coefficient directeur : .

La dérivée d’une fonction puissance est donnée par la formule : .

Pour dériver une somme , on applique : .

Pour dériver un produit , on applique : .

Pour dériver un quotient , on applique : .