Équations du second degré

Les fonctions trinômes du second degré ont pour représentation graphique une parabole. Leur étude permet de connaître leur sens de variation, leur maximum ou minimum et la position de leur courbe par rapport à l'axe des abscisses. Ces propriétés se retrouvent algébriquement grâce à la résolution d'équations et d'inéquations du second degré que l'on met au point de manière systématique en classe de première.

1. Qu'est-ce qu'une fonction trinôme du second degré ?

C'est une fonction f définie sur par :

, où a, b et c sont trois réels et .

Lorsque f est mise sous la forme où et sont des réels dépendants de a, b et c, on dit que f est sous une forme canonique.

2. Quel est le sens de variations d'une fonction trinôme du second degré ?

La forme canonique de , où , permet de montrer les résultats suivants :
si a > 0

si a < 0

La courbe de f dans un repère du plan est une parabole ayant pour axe de symétrie la droite

d'équation et pour sommet le point .

3. Comment résout-on une équation du second degré du type ax2 + bx + c = 0, où a est non nul ?

Si c = 0, on factorise par x et on est ramené à un produit de facteurs nuls.

Si b = 0, l'équation se ramène à l'équation qui se résout facilement selon les signes de c et a.

Si est une identité remarquable évidente, on factorise le trinôme et on est ramené à un produit de facteurs nuls.

Dans les autres cas, la forme canonique de , où , permet de montrer qu'en calculant le discriminant du trinôme , on a :

• si < 0, n'a pas de solution dans  ;

• si = 0, a pour unique solution  ;

• si > 0, a deux solutions distinctes :

et .

4. Comment détermine-t-on le signe d'un trinôme du second degré du type ax2 + bx + c, où a est non nul ?

Si l'équation n'a pas de solution dans ( < 0), alors ne se factorise pas et est du signe de a pour tout réel x.

Si l'équation a une unique solution , alors , est du signe de a pour tout et nul en x0.

Si l'équation a deux solutions distinctes x1 et x2 , alors , et un tableau de signes donne le résultat suivant :

Remarques

On résout ainsi tout type d'inéquation du second degré.

5. Quel est le lien entre les solutions d'une équation ou inéquation du second degré et l'allure de la parabole associée ?

Soit f la fonction définie sur par où et Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.

Résoudre l'équation revient à lire graphiquement les abscisses des points d'intersection de Cf et de l'axe des abscisses.

Le signe de est lié à la position de Cf par rapport à l'axe des abscisses.

Voici les différents cas possibles :

À retenir absolument

Toute fonction trinôme du second degré du type , où , a pour représentation

graphique une parabole de sommet , pour axe de symétrie la droite

d'équation , dont les branches sont « orientées vers le haut » si a > 0 et « orientées vers le bas » si a < 0.

Le signe du discriminant du trinôme , où , donne le nombre de solutions à l'équation et permet de savoir si le trinôme est factorisable ou non :

• si > 0, , où et  ;

• si = 0, où  ;

• si < 0, ne se factorise pas, et est du signe de a sur .