Équations différentielles

En sciences, l'étude d'un phénomène dont l'évolution est décrite par une fonction conduit très souvent à une équation dans laquelle figurent la fonction et ses dérivées successives. Une telle équation s'appelle une équation différentielle.

Le programme de mathématiques de terminale S comprend l'étude de deux types d'équations différentielles : y' = ky, qui permet d'introduire la fonction exponentielle, et y' = ay + b, qui correspond au cas général.

Les solutions de l'équation différentielle y' +  2y = 0 seront, elles, introduites en cours de physique.

1. Qu'est-ce que résoudre une équation différentielle ?

Soit k un nombre réel, résoudre l'équation différentielle y' = ky, c'est déterminer toutes les fonctions f dérivables sur telles que, pour tout nombre réel x, f'(x) = kf(x).

Soit a et b deux nombres réels, résoudre l'équation différentielle y' = ay + b, c'est déterminer toutes les fonctions f dérivables sur telles que, pour tout nombre réel x, f'(x) = af(x) + b.

2. Quelles sont les solutions générales de ces équations différentielles ?

Les solutions de l'équation différentielle y' = ky sont les fonctions f définies sur par , où c est un réel quelconque.

Les solutions de l'équation différentielle y' = ay + b, avec , sont les fonctions f définies sur

par , où c est un réel quelconque.

3. Comment déterminer une solution particulière de ces équations ?

Pour tout couple de réels (x0 ; y0), l'équation y' = ky admet une solution f et une seule telle que f(x0) = y0.

Pour tout couple de réels (x0 ; y0), l'équation y' = ay + b, avec , admet une solution f et une seule telle que f(x0) = y0.

Pour la déterminer, on remplace x et y dans l'équation par leurs valeurs respectives x0 et y0, puis on calcule la valeur de c correspondante.

4. Comment résoudre une équation différentielle avec un second membre ?

Seule la résolution des équations différentielles y' = ky et y' = ay + b est exigible. Néanmoins, on peut, dans certains problèmes, rencontrer des équations différentielles dont le second membre est non nul. Dans ce cas, le programme officiel précise clairement que toutes les indications utiles seront fournies au candidat pour lui permettre de se ramener aux modèles du cours. Il faut donc se laisser guider par l'énoncé du problème.

5. Que faut-il savoir sur les équations de la forme y' +  2y = 0 ?

Soit un réel non nul, résoudre l'équation différentielle y' +  2y = 0, c'est déterminer toutes les fonctions f deux fois dérivables sur telles que, pour tout nombre réel x,

Les solutions de l'équation différentielle y' +  2y = 0 sont les fonctions f définies sur par , où A et B sont deux réels quelconques.

Pour tous réels x0, y0 et v0, l'équation y' +  2y = 0 admet une solution f et une seule telle que f(x0) = y0 et f'(x0) = v0.

À retenir

Résoudre l'équation différentielle y' = ky, où k est un nombre réel, c'est déterminer toutes les fonctions f dérivables sur telles que, pour tout nombre réel x, f'(x) = kf(x).

Dans une équation différentielle, les inconnues (et les solutions) sont des fonctions.

Les solutions de l'équation différentielle y' = ky sont les fonctions f définies sur par où c est un réel quelconque.

Pour tout couple de réels (x0 ; y0), l'équation y' = ky admet une solution f et une seule telle que f(x0) = y0.