Effectuer une division de deux nombres relatifs

Dans un livre de physique, on demande de calculer une résistance R à l'aide de la formule

, où R1 et R2 désignent également des résistances. On donne R1 = 3  et R2 = 2  .

Effectuons le calcul suivant : .

À l'aide de la touche (ou ) de la calculatrice, on trouve R = 1,2  (en tapant la

séquence : 5   6 =   ).

Quelle est la signification de cette touche et comment retrouver ce résultat sans calculatrice ?

1. Donner l'inverse d'un nombre relatif

1.1. Définition

Deux nombres sont inverses l'un de l'autre lorsque leur produit est égal à 1.

Exemples :

–2 et –0,5 sont inverses. En effet : –2 × (–0,5) = 1.

est l'inverse de . En effet : .

7 a pour inverse . En effet : .

Remarques :

tout nombre non nul possède un inverse ;

soit x un nombre différent de 0. On note son inverse (on lit « un sur x ») ou x–1 (on lit « inverse de x » ou « x exposant moins 1 ») ;

les calculatrices possèdent souvent une touche ( ou ) qui donne tout de suite le résultat.

1.2. Propriétés

Soit a et b deux entiers non nuls ; l'inverse de est . En effet .

Un nombre non nul et son inverse ont le même signe.

L'inverse de l'opposé est l'opposé de l'inverse.

Exemple : (l'inverse de –3 est l'opposé de l'inverse de 3).

2. Effectuer la division de deux nombres relatifs

2.1. Définition

Soit x un nombre relatif et y un nombre relatif non nul ; diviser x par y revient à multiplier x par

l'inverse de y. Autrement dit : .

2.2. Premiers exemples

Avec des écritures numériques :

Avec des écritures littérales :

a et b étant deux nombres (avec b   0), on a : .

a, b, c et d étant des nombres (avec b, c et d non nuls), on a : .

Remarque : on peut prévoir le signe du quotient a ÷ b.

Si a et b ont le même signe, alors le quotient est positif.

Si a et b ont des signes différents, alors le quotient est négatif.

2.3. « Quotients de quotients »

Dans les exemples suivants, il s'agit de calculer des « quotients de quotients ».

Exemple 1 :

Exemple 2 :

Exemple 3 :

Remarque : la place du signe = détermine la signification des écritures A, B et C.

Généralisation : soit a un nombre relatif ; soit b, c et d des nombres relatifs non nuls.

On a les égalités suivantes :