Effectuer des calculs sur des racines carrées

Deux formules permettent de transformer des expressions comportant plusieurs racines carrées.

Quelles sont les applications de ces formules en calcul numérique et en géométrie ?

1. Les formules

Pour tous nombres positifs a et b, on a les égalités suivantes :

, avec .

Exemples : on veut simplifier et .

L'application directe des formules permet d'écrire : et

Ces exemples montrent que le produit ou le quotient de deux nombres irrationnels peut être un nombre rationnel.

2. Applications au calcul numérique

2.1. Simplifier une somme algébrique comportant des racines carrées

On veut simplifier l'expression .

On transforme l'expression de la manière suivante : ,

puis , soit .

En réduisant, on obtient .

2.2. Développer une expression comportant des racines carrées

On veut développer l'expression . Le résultat sera donné sous la forme exacte la plus simple possible.

, soit , d'où .

La valeur exacte de B est donc : .

3. Application en géométrie

Énoncé : soit ABCD un rectangle tel que et , l'unité étant le centimètre. On veut calculer la valeur exacte de DC et en déduire l'aire et le périmètre du rectangle ABCD. On donnera les résultats sous la forme exacte la plus simple possible.

Résolution : ABCD est un rectangle, donc le triangle ADC est rectangle en D. Appliquons la

propriété de Pythagore : AC² = AD² + DC², soit , donc DC² = 10 – 2 = 8. DC désigne une longueur, c'est donc un nombre positif ; on en déduit que la valeur exacte de DC

est  cm. Le périmètre du rectangle ABCD est donc : 2(AD + DC), soit .

Simplifions comme dans le paragraphe 2.1 :

La valeur exacte du périmètre du rectangle est donc  cm.

L'aire du rectangle ABCD est : AD × DC, soit . Or .

La valeur exacte de l'aire du rectangle est donc 4 cm².