Effectuer des calculs sur des puissances

On retrouve des puissances dans de très nombreuses formules de mathématiques ou de

physique. Par exemple, le volume d’une boule est donné par la formule , où R désigne le rayon.

Comment utiliser la définition et les propriétés des puissances pour les calculer ?

1. Utiliser la définition des puissances

On veut calculer les nombres A, B, C, D, E, F, G, H et I suivants :

A = 1,13 = 1,1 × 1,1 × 1,1 = 1,331.

B = (–0,2)5 = (–0,2) × (–0,2) × (–0,2) × (–0,2) × (–0,2) = –0,000 32, car le nombre –0,2 est négatif et l’exposant, 5, est impair.

. On peut aussi écrire : .

D = 1 7890 = 1, car tout nombre non nul élevé à la puissance 0 donne 1 (mais 01 789 = 0).

E = (–2 001)1 = –2001.

F = (–1)2 001 = –1, car il y a un nombre impair de facteurs tous égaux à –1.

G = (–1)3 000 = 1, car il y a un nombre pair de facteurs tous égaux à –1.

H = –28 = –128. En effet, l’écriture –28 est équivalente à l’écriture –(28).

.

2. Appliquer les propriétés des puissances

Dans ce paragraphe, a et b désignent des nombres non nuls, n et p des entiers relatifs.

On veut écrire sous la forme d’une puissance les nombres A, B, C, D et E suivants :

A = (–7)3 × 53 = (–7 × 5)3 = (–35)3

On a utilisé la propriété : an × bn = (ab)n.

B = (–0,7)7 × (–0,7)4 = (–0,7)7 + 4 = (–0,7)11

On a utilisé la propriété : an × ap = an + p.

C = 43 × 4–9 = 43 – 9 = 4–6

On a ici aussi utilisé la propriété : an × ap = an + p. En effet, 3 + (–9) = 3 – 9 = –6.

D = (2,35)3 = 2,35 × 3 = 2,315

On a utilisé la propriété : (an)p = anp.

On a utilisé la propriété : .

Remarque : attention, il n’existe pas de formules concernant la somme des puissances !

Ainsi : G = 32 + 52 = 9 + 25 = 34 (alors que 3 + 5 = 8 et 82 = 64), car les puissances ont priorité sur les additions.