Donner une valeur approchée d'un nombre relatif

Pour effectuer des calculs contenant le nombre  , Archimède utilisait la valeur , qui est une valeur approchée de ce nombre. Lorsque l'on prend pour ce même nombre la valeur 3,141 6, on utilise une autre valeur approchée.

1. Valeurs approchées d'un nombre en écriture décimale

1.1. Le nombre est positif

Lorsqu'on appuie sur la touche d'une calculatrice, celle-ci affiche : 3,1415926359. On en déduit que 3,141 5 <   < 3,141 6.

À partir de cet encadrement, on peut dire que :

3,141 5 est une valeur approchée à 0,000 1 près par défaut de (on dit aussi : à 10–4 près par défaut, ou encore : au dix millième près par défaut) ;

3,141 6 est une valeur approchée à 0,000 1 près par excès de (on dit aussi : à 10–4 près par excès) ;

3,141 est la troncature de au millième (à 0,001 près). Pour la trouver, on garde les trois premières décimales. C'est la valeur approchée de à 10–3 près par défaut ;

3,142 est l'arrondi de au millième près. Pour le trouver, on regarde la quatrième décimale de , c'est-à-dire la première qu'on ne veut pas conserver : si c'est 0, 1, 2, 3 ou 4 alors on conserve la partie entière et les trois premières décimales de , sinon on prend le nombre s'écrivant avec trois décimales immédiatement supérieur à .

Exemples :

l'arrondi à 0,01 près de 12,384 est 12,39 ;

l'arrondi à 0,1 près de 11,65 est 11,7 (11,65 est aussi près de 11,6 que de 11,7, mais dans ce cas de figure, on choisit toujours le nombre le plus grand).

1.2. Le nombre est négatif

Soit le nombre –71,423 7, que l'on note A.

On a : –71,424 < A < –71,423

À partir de cet encadrement, on peut dire que :

–71,43 est une valeur approchée à 0,01 près par défaut de A (on dit aussi : à 10–2 près par défaut, ou encore : au centième près par défaut) ;

–71,42 est une valeur approchée à 0,01 près par excès de A (on dit aussi à 10–2 près par excès) ;

–71,43 est la troncature de A au centième (à 0,01 près). C'est la valeur approchée par défaut à 0,01 près ;

–71,42 est l'arrondi de A au centième près. Pour le trouver, on regarde la troisième décimale, c'est-à-dire la première qu'on ne veut pas conserver : si c'est 0, 1, 2, 3 ou 4 alors on prend le nombre s'écrivant avec deux décimales immédiatement supérieur, sinon on prend le nombre s'écrivant avec deux décimales immédiatement inférieur à ce nombre.

2. Valeurs approchées d'un quotient

2.1. Le nombre est positif

On peut, à l'aide d'une calculatrice, trouver une valeur approchée du quotient et ensuite donner la valeur approchée souhaitée (en appliquant une méthode vue dans la première partie).

Exemple : on veut donner une valeur approchée arrondie à 0,01 près de .

Une calculatrice affiche : 3,142857142. La valeur approchée arrondie à 0,01 près de est donc 3,14.

On remarque que est une valeur approchée de à 0,01 près.

2.2. Le nombre est négatif

On cherche d'abord un encadrement de l'opposé de ce nombre et on en déduit un encadrement de ce nombre, ce qui permet de conclure.

Exemple : on veut donner une valeur approchée à 10–3 près par défaut de .

Ce nombre est négatif. Son opposé est égal à .

À l'aide d'une calculatrice, on trouve : .

On en déduit que : .

–0,871 est une valeur approchée à 10–3 près par défaut de .