Donner la forme irréductible d'un nombre en écriture fractionnaire (4e)

Une fraction irréductible est une fraction que l'on ne peut plus simplifier. Étant donné une fraction quelconque, comment la rendre irréductible ? Il suffit de la simplifier jusqu'à ce que le numérateur et le dénominateur n'aient plus que 1 comme diviseur commun.

1. Simplifier une fraction

Simplifier une fraction, c'est diviser le numérateur et le dénominateur par un même entier strictement positif. Il faut que cet entier soit un diviseur commun au numérateur et au dénominateur.

Exemple : peut-on écrire plus simplement  ?

On remarque que 150 et 400 sont des multiples de 10. On peut donc écrire : .

On dit qu'on a simplifié la fraction par 10.

On voit maintenant que 15 et 40 sont des multiples de 5. On a donc : .

On dit qu'on a simplifié la fraction par 5.

Finalement, on peut écrire : . On dit alors qu'on a simplifié la fraction .

Remarque : si on avait commencé par simplifier par 5 puis par 10, on aurait encore obtenu (de même si on avait simplifié d'abord par 2, puis par 5 puis encore par 5).

2. Simplifier pour obtenir une fraction irréductible

Parmi toutes les écritures d'un nombre écrit sous forme fractionnaire, il en est une qu'on ne peut pas simplifier. On dit qu'elle est irréductible. Comment la trouver ?

Il existe plusieurs méthodes :

soit, comme dans l'exemple précédent, on fait des simplifications évidentes mais on risque de s'arrêter trop tôt ;

soit on cherche le plus grand des diviseurs communs au numérateur et au dénominateur, et on divise par ce nombre en haut et en bas du signe de fraction.

Exemple : comment rendre irréductible la fraction  ?

Les diviseurs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 et 24.

Les diviseurs de 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 et 42.

1 ; 2 ; 3 et 6 sont les diviseurs communs à 24 et 42. 6 est le plus grand.

On peut écrire :

est la forme irréductible de . (En effet, 4 et 7 n'ont que le nombre 1 comme diviseur commun.)

Remarque :

La plupart des calculatrices du collège possèdent une touche (Simp ou d/c) qui permet de simplifier les écritures fractionnaires. Elle est très pratique quand on sait s'en servir.
Par exemple, les séquences :

3 2 3 / 1 5 3 = Simp

3 2 3 ab/c 1 5 3 d/c

affichent respectivement 19/9 et 19_|9. (La calculatrice a simplifié par 17.)

3. Applications aux calculs avec des fractions

Avant de se lancer dans des calculs compliqués, il peut être judicieux de simplifier d'abord les écritures fractionnaires.

Exemple : calculons .

Si on cherche directement un multiple commun à 77 et 48, on trouve (au mieux) : 3 696.

Alors que : et .

Finalement : .

Soustraire ou additionner des fractions irréductibles est plus simple.