Développer une expression du type (a + b) (c + d)

Développer une expression, c'est transformer un produit en somme algébrique. Pour cela, on utilise la propriété de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et à la soustraction.

1. La double distributivité

1.1. La formule

a, b, c et d étant quatre nombres, on a la relation suivante : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

La propriété en question s'appelle parfois la double distributivité.

1.2. Une illustration géométrique

Dans le cas où a, b, c et d sont positifs, la figure 2 illustre cette formule :

En considérant que a, b, c et d sont des longueurs, calculons de deux façons l'aire du grand rectangle :

ses dimensions sont (a + b) et (c + d) ; son aire est donc : (a + b)(c + d) ;

son aire est également la somme des aires des quatre petits rectangles soit : ac + ad + bc + bd.

On a bien : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

2. Exemples de développement

Dans les trois exemples suivants, x représente un nombre.

2.1. Exemple 1

A = (2x + 3)(x +  5)

On développe : A = 2xx + 2x × 5 + 3x + 3 × 5.

On effectue les multiplications et on remplace xx par x² : A = 2x² + 10x + 3x + 15.

On factorise x dans : 10x + 3x (on dit qu'on réduit l'expression) : A = 2x² + (10 + 3) x + 15 ;

A = 2x² + 13x + 15.

2.2. Exemple 2

B = (2 – 3x)(2x + 4)

On développe :

B = 2 × 2x + 2 × 4 + (–3x) 2x + (–3x) 4 ;

B = 4x + 8 + (–6x²) + (–12x).

On ordonne selon les puissances de x et on réduit l'expression : B = (–6x²) + (4 – 12) x + 8.

Finalement : B = –6x² – 8x + 8.

Bien sûr, pour aller plus vite, on peut sauter quelques étapes, mais il faut alors faire très attention aux signes.

2.3. Exemple 3

C = (x – 3)(3x – 2)
C = 3xx – 2x – 3 × 3x + 3 × 2
C = 3x² – 2x – 9x + 6
C = 3x² – (2 + 9) x + 6
C = 3x² – 11x + 6