Développer ou factoriser une expression littérale

Les développements et les factorisations procèdent de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition ou à la soustraction. L'égalité (1) exprime la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition et l'égalité (2) la distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction :

(1) k(a + b)= ka + kb

(2) k(a – b)= ka – kb

1. Développer une expression littérale

Développer une expression littérale consiste à transformer un produit en somme algébrique.

Exemples : on veut développer les expressions suivantes.

A = 2(x + 1) – 4(3x – 6) = 2x + 2 – 12x + 24 (on peut terminer le calcul en écrivant – 10x + 26)

B = a(a – 7) = a² – 7a

2.1. Le produit contient deux paires de parenthèses

On applique une « double distributivité », c'est-à-dire : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd,

ou bien (a + b)(c - d) = ac – ad + bc – bd,

ou bien (a – b)(c + d) = ac + ad – bc – bd,

ou bien encore (a – b)(c – d) = ac - ad – bc + bd.

Exemple : on veut développer les expressions suivantes.

A = (2x + 5)(x – 4) = 2x² – 8x + 5x – 20 ; on peut réduire l'expression trouvée et écrire :

A = 2x² – 3x – 20

B = (–5 + 3y)(y – 2) = –5y + 10 + 3y² – 6y ; on peut réduire l'expression trouvée et écrire :

B = 3y² – 11y + 10

Remarque : on peut aussi développer des expressions en utilisant les identités remarquables.

2. Factoriser une expression littérale

Factoriser une expression littérale consiste à transformer une somme algébrique en produit.

Par exemple, quand on écrit : ka + kb = k(a + b) ou ka – kb = k(a – b), on a factorisé les expressions ka + kb et ka – kb.

Dans les deux cas, on dit qu'on a mis k en facteur. Le nombre k est appelé un facteur commun.

Ce facteur commun peut être un nombre, une lettre, le produit d'un nombre par une lettre ou une expression entre parenthèses.

Un facteur commun peut être apparent ou caché. S'il est caché, il faudra le faire apparaître.

2.1. Le facteur commun est apparent

5x – 5a + 5b = 5(x – a + b) ; le facteur commun est 5.

x² – 3x = x(x – 3) ; le facteur commun est x.

(x + 2)(4x – 5) + (x + 2)(5x + 1) = (x + 2)[(4x – 5) + (5x + 1)] ; le facteur commun est (x+2).

On peut réduire l'expression trouvée et écrire (x + 2)(9x – 4).

(3x – 4)² – (3x – 4)(2x + 7) = (3x – 4)[(3x – 4) – (2x+7)] ; le facteur commun est (3x – 4).

On peut réduire l'expression trouvée et écrire (3x - 4)(x – 11).

2.2. Le facteur commun est caché

A = 10a – 8b = 2(5a – 4b)

B = (2x + 3)(4x – 3) – (4x + 6)(7x + 8)

B = (2x + 3)(4x – 3) – 2(2x + 3)(7x + 8) ; on a « fait apparaître » le facteur commun (2x + 3).

B = (2x + 3)[(4x – 3) – 2(7x + 8)] ; on peut réduire l'expression trouvée et écrire :

B = (2x + 3)(4x – 3 – 14x – 16) = (2x + 3)(–10x – 19)

Remarque : on peut aussi factoriser des expressions en utilisant les identités remarquables.