Déterminer une fonction affine

Quels sont les éléments dont on doit disposer pour déterminer une fonction affine, c'est-à-dire pour la connaître entièrement ?

1. Déterminer une fonction affine par le calcul

On sait qu'une fonction affine est une fonction du type , où a et b sont des nombres fixés. Une fonction affine est donc déterminée par la connaissance des deux nombres a et b.

1.1. On connaît les images de deux nombres donnés

Appuyons-nous sur un exemple : il s'agit de déterminer la fonction affine telle que et .

Toute application affine est de la forme . Calculons a et b.

Pour cela, on écrit que pour x = 4, on obtient .

En identifiant les écritures et , on obtient l'équation : 4a + b = 5.

Pour x = 2, on obtient : .

En identifiant les écritures et , on obtient l'équation : 2a + b = –1.

On doit donc résoudre un système de deux équations dont les inconnues sont a et b :

Résolvons ce système par substitution ; on obtient successivement :

 ;  ;  ;  ;  ; .

La fonction affine cherchée est donc : .

1.2. Autres situations

Exemple 1 : on verse de l'eau dans un éprouvette graduée jusqu'à atteindre la hauteur de 11 cm. Chaque jour, on constate que le niveau de l'eau baisse de 4 mm à cause de l'évaporation. On veut démontrer que la fonction qui au nombre x de jours écoulés fait correspondre la hauteur (en cm) de l'eau dans l'éprouvette est une fonction affine et déterminer celle-ci.

Au bout de x jours, la hauteur de l'eau a baissé de 4x mm, soit 0,4x cm.

Au bout de x jours, la hauteur de l'eau (en cm) dans l'éprouvette sera donc égale à : 11 – 0,4x,
soit –0,4x + 11.

Par conséquent, la fonction qui au nombre x de jours écoulés fait correspondre la hauteur en cm de l'eau dans l'éprouvette est la fonction affine : .

Exemple 2 : un automobiliste part d'une ville A pour se rendre à une ville B, distante de A de 750 km. Il roule à la vitesse constante de 90 km/h. On veut démontrer que la fonction qui à la durée du parcours (en h) fait correspondre la distance (en km) qui sépare l'automobiliste de la ville B est une fonction affine et la déterminer.

Appelons x la durée du parcours en heures. Au bout de x heures, l'automobiliste a parcouru 90x km. La distance (en km) séparant l'automobiliste de la ville B est donc égale à : 750 – 90x, soit –90x + 750.

Par conséquent, la fonction qui à la durée x du parcours (en h) fait correspondre la distance (en km) qui sépare l'automobiliste de la ville B est la fonction affine : .

2. Déterminer une fonction affine par un graphique

Exemple : on veut déterminer la fonction affine représentée sur la figure par la droite D.

Désignons par la fonction affine à déterminer.

Par lecture graphique, on détermine l'ordonnée à l'origine de la droite D, c'est-à-dire la valeur de b : on lit ici b = 3.

La fonction affine cherchée est donc du type  ; il reste à déterminer la valeur de a.

Pour cela, on détermine les coordonnées d'un point M de la droite par lecture graphique : soit M le point de coordonnées (2 ; 7).

Dire que ce point est sur la droite qui représente la fonction affine, c'est dire que .

D'autre part, en remplaçant x par 2 dans l'écriture , on obtient : .

En identifiant ces deux écritures, on obtient : 2a + 3 = 7.

Cette équation équivaut successivement à :

2a = 7 – 3

2a = 4

a = 2

La fonction affine cherchée est donc : .

Remarque : une autre méthode consiste à déterminer graphiquement les coordonnées de deux points de la droite, on dispose alors des images de deux nombres par la fonction affine. Il suffit ensuite de suivre la méthode indiquée au paragraphe 1.1.