Déterminer la moyenne et l'étendue d'une série statistique

Si on relève la température une fois par jour en un même lieu de la Terre pendant un an et qu'on calcule la moyenne des températures relevées, on obtient la température moyenne annuelle en ce lieu. Cette moyenne nous indique si le climat y est globalement chaud, froid ou tempéré, mais elle ne nous renseigne pas sur les variations annuelles de température : il peut y avoir de grandes différences entre les températures d'hiver et celles d'été.

Si on calcule la différence entre la température maximale et la température minimale de l'année, appelée en géographie amplitude thermique annuelle, on peut caractériser plus précisément le climat en ce lieu : une grande amplitude thermique annuelle signifie que les saisons sont très marquées (hivers froids, étés chauds dans l'hémisphère Nord), comme c'est le cas pour le climat continental, par exemple. La notion correspondant à l'amplitude thermique est appelée étendue en statistique.

Comment calculer et interpréter une moyenne, une étendue ?

1. Étendue d'une série statistique

L'étendue d'une série statistique numérique est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de cette série. C'est une caractéristique de dispersion.

Exemple : considérons la série : 2 ; 6 ; 4 ; 12 ; 25 ; 13,2.

Son étendue est : 25 – 2, c'est-à-dire 23.

2. Moyenne d'une série statistique

2.1. Moyenne d'une série statistique donnée « en vrac »

La moyenne d'une série statistique dont toutes les valeurs sont données « en vrac » est le quotient de la somme des valeurs de la série par le nombre de valeurs de la série.

Exemple : on veut calculer la moyenne trimestrielle d'un élève ayant obtenu les notes de mathématiques (sur 20) suivantes : 7 ; 12 ; 9 ; 15.

La moyenne est : , soit 10,75.

Remarque : on peut calculer une moyenne avec certaines calculatrices scientifiques de la

manière suivante : on tape chaque note suivie de la touche , puis on appuie sur la touche .

2.2. Moyenne pondérée

Exemple 1 : lorsque la série est longue et que certaines valeurs de la série se répètent, le calcul de la moyenne peut s'avérer fastidieux : on a donc intérêt à regrouper les valeurs identiques de la série.

Le tableau ci-dessous présente les notes obtenues à un contrôle par les élèves d'une classe :

On calcule l'effectif total : 3 + 5 + 2 + 3 + 1 + 3 + 2 + 1, soit 20 élèves.

Le calcul de la moyenne s'effectue de la manière suivante :

Exemple 2 : un examen comporte 4 épreuves :

l'anglais : coefficient 2 ;

le français : coefficient 4 ;

l'histoire-géographie : coefficient 3 ;

les mathématiques : coefficient 4.

Un élève a obtenu 8 en anglais, 13 en français, 14 en histoire-géographie et 16 en mathématiques.

Sa moyenne pondérée est égale à la somme des produits de chaque note par son coefficient,

divisée par la somme de tous les coefficients, c'est-à-dire :

2.3. Moyenne pondérée d'une série regroupée en classes

Il peut arriver que la population soit divisée en groupes appelés classes.

Exemple : voici un tableau indiquant la répartition des notes obtenues à un contrôle par les 24 élèves d'une classe :

Les classes sont notées sous forme de segments. Il y a, par exemple, 7 élèves ayant obtenu une note comprise entre 12 (inclus) et 14 (inclus).

Remarque : attention à ne pas confondre ici la classe (de 24 élèves) et les classes qui sont des groupes de notes !

Comment calculer une moyenne dans ce cas ?

On procède de la manière suivante :

on calcule le centre de chaque classe, c'est-à-dire la moyenne de ses extrémités. Par exemple

le centre de la classe [6,8] est :  ;

on dresse alors le tableau ci-dessous ;

pour calculer la moyenne, on va considérer que les 6 élèves de la classe [6,8] ont obtenu la note 7, et ainsi de suite pour chaque classe.

La moyenne sera donc égale à :

Remarque : il faut noter qu'en réalité on ne peut pas calculer la véritable moyenne puisqu'on ne connaît pas toutes les notes, mais ce calcul donne une approximation.

3. Comparaison de deux séries statistiques

Soit deux classes de 21 élèves dont les résultats à un même contrôle sont donnés par les tableaux ci-dessous. Nous allons comparer les résultats de ces deux classes de façon à montrer qu'une moyenne similaire peut cacher des disparités.

Résultats de la classe 1 :

On vérifiera que la moyenne de cette classe, arrondie au centième près, est égale à 10,14.
Résultats de la classe 2 :

On vérifiera que la moyenne de cette classe, arrondie au centième près, est égale à 10,12.

Ces deux classes ont donc le même effectif (21 élèves) et la même moyenne à 2 centièmes près.

Cependant, pour affiner la comparaison, calculons l'étendue de chaque série :

l'étendue de la série de notes de la classe 1 est : 19 – 2 = 17 ;

celle de la classe 2 est : 13,5 – 6 = 7,5.

La première étendue est nettement supérieure à la seconde : on dit que la première étendue est plus dispersée que la seconde.

On peut interpréter ces résultats en disant que le niveau est moyen dans chaque classe (les moyennes sont voisines de 10), mais que, dans la première classe, on trouve de très bons et de très mauvais résultats, ce qui n'est pas le cas dans la deuxième où les résultats sont plus « resserrés » autour de la moyenne.