Déterminer la médiane d'une série statistique

Un élève qui a obtenu 7 sur 20 en maths cherche à relativiser l'insatisfaction de son père en lui faisant remarquer qu'il se situe exactement « en milieu de classe », c'est-à-dire qu'il y a autant d'élèves « devant lui » que « derrière lui ».

En statistique, on dit que la note de cet élève est une note médiane : comme en géométrie, le mot médiane est donc lié à la notion de milieu. La médiane d'une série statistique est ce qu'on appelle une caractéristique de position. Comment la déterminer ?

1. Définition et premiers exemples

1.1. Définition

Étant donnée une série statistique ordonnée, une valeur médiane de cette série est une valeur qui partage cette série en deux groupes d'effectifs égaux :

un groupe constitué de valeurs inférieures ou égales à la médiane ;

un groupe constitué de valeurs supérieures ou égales à la médiane.

1.2. Exemples

Cas où l'effectif est impair

On veut déterminer une médiane de chacune des séries de nombres suivantes.

Première série : 2 ; 6 ; 7 ; 25 ; 58.

Le nombre 7 est la valeur médiane de cette série : on a partagé la série en deux groupes d'effectifs égaux : 2 ; 6 (valeurs inférieures à 7) et 25 ; 58 (valeurs supérieures à 7).

Deuxième série : 4 ; 7 ; 9 ; 9 ; 11 ; 15 ; 17.

Le nombre 9 est la valeur médiane de cette série ; on a partagé la série en deux groupes d'effectifs égaux : 4 ; 7 ; 9 (valeurs inférieures ou égales à 9) et 11 ; 15 ; 17 (valeurs supérieures à 9).

Conclusion : si l'effectif est impair, la médiane est unique : c'est une valeur de la série. Les deux groupes d'effectifs égaux sont alors constitués, d'une part, des valeurs qui précèdent la médiane dans la série ordonnée, d'autre part, des valeurs qui suivent la médiane dans la série ordonnée.

Cas où l'effectif est pair

On veut déterminer une médiane de chacune des séries de nombres suivantes.

Première série : 1 ; 5 ; 12 ; 13 ; 21 ; 24.

Le nombre 12,5 est une valeur médiane de cette série : on a partagé la série en deux groupes d'effectifs égaux : 1 ; 5 ; 12 (valeurs inférieures à 12,5) et 13 ; 21 ; 24 (valeurs supérieures à 12,5). En fait, pour cette série, tout nombre strictement compris entre 12 et 13 est une valeur médiane.

Deuxième série : 5 ; 14 ; 18 ; 19 ; 19 ; 25 ; 47 ; 56.

Le nombre 19 est la valeur médiane de cette série ; on a partagé la série en deux groupes d'effectifs égaux : 5 ; 14 ; 18 ; 19 (valeurs inférieures ou égales à 19) et 19 ; 25 ; 47 ; 56 (valeurs supérieures à 19).

Conclusions :

si l'effectif est pair, les deux groupes d'effectifs égaux correspondent aux deux moitiés de la liste des valeurs de la série ordonnée ; l'exemple de la première série montre que si l'effectif est pair, la médiane n'est pas nécessairement unique et n'est pas toujours une valeur de la série.

2. Détermination d'une médiane

2.1. La série statistique est donnée « en vrac »

Il faut penser à ordonner la liste des valeurs de la série si celle-ci n'est pas ordonnée.

Exemple : voici la série ordonnée des notes (sur 20) obtenues par des élèves à un contrôle :
2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 6 ; 8 ; 9 ; 9,5 ; 10 ; 10 ; 10 ; 11 ; 11 ; 12 ; 14 ; 14 ; 15,5 ; 16 ; 17 ; 17,5 ; 19.

En comptant les notes, on trouve un effectif total de 21. On va partager la série en deux groupes de 10 ; la note restante sera alors la note médiane de la série : il s'agit ici de la onzième note de la série, qui est égale à 10.

La valeur médiane de cette série est donc 10, elle est représentée en gras ci-dessous :

2.2. La série est donnée sous forme d'un tableau des effectifs cumulés croissants

Exemple : voici un tableau donnant la répartition des notes des élèves d'une classe à un contrôle, ainsi que les effectifs cumulés croissants :

L'effectif total est égal à 22 ; on va donc partager les notes en deux groupes de 11.

Utilisons les effectifs cumulés croissants en cherchant la première note pour laquelle on atteint un effectif cumulé strictement supérieur à 11 : il s'agit ici de la note 9. Par conséquent, la note 9 (la onzième note de la série ordonnée) est la note médiane de cette série.

2.3. La série est donnée sous forme d'un diagramme d'effectifs cumulés croissants

Le diagramme représenté sur la figure montre la répartition des notes des élèves d'une classe de 22 élèves, sous forme d'une courbe appelée polygone des effectifs cumulés croissants : sur l'axe des abscisses, on a placé les notes et, sur l'axe des ordonnées, les effectifs cumulés correspondants, puis on a relié les points consécutifs par des segments de droite.

La moitié de l'effectif total est égale à 11. Sur le graphique, on recherche le point d'ordonnée 11 : son abscisse (comprise entre 6 et 8) est une note médiane de la série. Comme cela a été expliqué précédemment, toute valeur strictement comprise entre 6 et 8, par exemple 7, est une médiane de la série.