Démontrer qu'un triangle est rectangle

On sait qu'un triangle rectangle possède des propriétés relatives à ses angles, à ses longueurs et qu'il peut s'inscrire dans un cercle.

Comment peut-on utiliser ces propriétés pour démontrer qu'un triangle est rectangle ?

1. Le triangle a deux angles complémentaires

1.1. Propriété

Si un triangle a deux angles complémentaires (donc si la somme de leurs ouvertures est égale à 90°), alors il a un angle droit.

1.2. Exemple

Énoncé : ABCD est un parallélogramme. La bissectrice de l'angle  coupe la bissectrice de l'angle  en I.

On veut démontrer que le triangle ADI est rectangle.

Résolution : on sait que, dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires.

Donc .

De plus et .

On en déduit que , soit en simplifiant .

Les angles et sont donc complémentaires.

Le triangle IAD, qui a deux angles complémentaires ( et ), est rectangle en I.

Remarque :si on trace les quatre bissectrices du parallélogramme ABCD, le quadrilatère déterminé par les quatre points d'intersection des bissectrices est un rectangle.

2. Le triangle est inscrit dans un cercle dont le diamètre est un côté du triangle

2.1. Propriété

Si un triangle ABC est inscrit dans le cercle de diamètre [BC], alors ABC est rectangle en A.

2.2. Exemple

Énoncé : soit un cercle C de centre O. Soit A un point extérieur au disque limité par ce cercle. Le cercle de diamètre [OA] coupe C en D et E. On veut démontrer que le triangle OAD est rectangle.

Résolution : le triangle OAD est inscrit dans le cercle de diamètre [AO], qui est un de ses côtés. Il est donc rectangle en D.

Remarques : la droite (AD) est perpendiculaire en D au rayon [OD]. La droite (AD) est donc la tangente à C au point D.

On peut démontrer de même que le triangle AEO est rectangle en E, donc la droite (AE) est tangente à C au point E.

3. Le triangle vérifie la réciproque de la propriété de Pythagore

3.1. Propriété

Soit ABC un triangle. Si les longueurs de ces côtés vérifient la relation : BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en A.

3.2. Exemple

Énoncé : soit un triangle DEF. L'unité de longueur étant le centimètre, DE = 9, EF = 21 et DF = 19. Ce triangle est-il rectangle ?

Résolution : le côté le plus long est [EF]. Comparons donc EF² et DE² + DF².

EF² = 21² = 441 et DE² + DF² = 9² + 19² = 81 + 361 = 441

On a bien : EF² = DE² + DF².

D'après la réciproque de la propriété de Pythagore, ce triangle est rectangle en D.