Décrire une pyramide, fabriquer son patron

Le mot pyramide nous fait tout de suite penser aux monuments des pharaons égyptiens, mais des pyramides se trouvent aussi plus près de nous ; ainsi les clochers des églises romanes sont-ils souvent surmontés d'une pyramide dont la base est un polygone à huit côtés (l'octogone roman).

Quelle est donc la définition mathématique de ce solide ? Qu'appelle-t-on pyramide régulière et comment peut-on en fabriquer une ?

1. Décrire une pyramide

1.1. Cas général

Observons la pyramide représentée ci-dessus en perspective cavalière. Elle comprend :

une base qui a la forme d'un polygone (ici c'est le pentagone ABCDE) ;

des faces latérales ; chacune est un triangle dont un sommet est le point S. (SAB ; SBC ; SCD ; SDE ; SEA). Le point S ne se trouve pas dans le même plan que la base. On l'appelle le sommet de la pyramide.

Les segments [SA], [SB], [SC], [SD] et [SE] sont les arêtes latérales de la pyramide.

La droite passant par le sommet et perpendiculaire au plan de la base coupe le plan de la base au point H ; le point H est le pied de la hauteur [SH].

Remarque : l'expression hauteur de la pyramide désigne aussi bien le segment [SH] que la longueur SH.

1.2. Pyramides régulières

La base de ces deux pyramides est un polygone régulier (carré pour l'une, hexagone pour l'autre) et le pied de la hauteur est le centre du polygone de base. On dit que ce sont des pyramides régulières.

Si une pyramide de sommet S est régulière :

les faces latérales sont toutes des triangles isocèles superposables de sommet S ;

toutes les arêtes issues du sommet S ont la même longueur.

1.3. Tétraèdre

Un tétraèdre est une pyramide qui a quatre faces triangulaires. N'importe quel sommet de ce polyèdre peut être considéré comme le sommet de la pyramide, les trois autres en définissant la base.

Ainsi, sur la figure 3, on peut dire des tétraèdres qu'ils ont pour sommet A et pour base le triangle BCD ou pour sommet B et pour base le triangle ACD.

Remarque : ce polyèdre s'appelle un tétraèdre car, en grec, tetra veut dire « quatre » et edron, « face ».

2. Fabriquer une pyramide

On veut construire un patron d'une pyramide régulière dont la base est un carré de côté 3 cm et dont chaque arête mesure 4 cm.

Il suffit de dessiner le carré de la base de côté 3 cm et quatre triangles isocèles dont un côté est un côté du carré et les deux autres mesurent 4 cm.