Décrire un cône de révolution, fabriquer son patron

Un cornet de glace, un chapeau de fée, le faisceau lumineux d'une lampe torche ont la forme d'un cône de révolution.

Quelle est donc la définition mathématique de ce solide ? Comment peut-on en fabriquer un ?

1. Décrire un cône de révolution

1.1. Observation

Observons le cône de révolution représenté ci-dessus en perspective.

C'est un solide limité par :

une base qui a la forme d'un disque (ici c'est un disque de centre O et de rayon r).

une surface latérale, constituée de tous les segments joignant le point S aux points du bord du disque. Ces segments s'appellent les génératrices du cône ; ils ont tous la même longueur a.

Le point S se trouve sur la perpendiculaire au plan du disque passant par O. Le point S s'appelle le sommet du cône, le segment [SO], la hauteur du cône.

Remarque : l'expression hauteur du cône de révolution désigne aussi bien le segment [SO] que la longueur SO.

1.2. Pourquoi « de révolution » ?

Le mot révolution vient du mot latin volvere qui veut dire « rouler ».

Une expérience permet de mieux comprendre l'expression.

On fixe un triangle isocèle découpé dans du carton sur une perceuse de façon que l'axe de la perceuse soit un axe de symétrie du triangle.

Quand on met en marche la perceuse, on a l'impression de voir un cône.

Ce cône est engendré par les révolutions du triangle isocèle autour de son axe de symétrie, d'où le nom de cône de révolution.

Tous les cônes ne sont pas de révolution. La figure 3 montre un cône qui n'est pas de révolution.

2. Fabriquer un cône de révolution

On veut réaliser un patron d'un cône de révolution dont la base est un disque de rayon 3 cm et dont la hauteur est de 4 cm.

Le patron de la base est un disque de rayon 3 cm et le patron de la surface latérale un secteur circulaire dont il faut calculer le rayon et l'ouverture.

Le rayon du secteur circulaire est une génératrice du cône. Le rayon r est donc égal à la longueur SM (c'est-à-dire a) de la figure 1. Le triangle SOM étant rectangle en O, la propriété de Pythagore permet d'affirmer que SM² = SO² + OM² donc SM² = 3² + 4² = 25, SM = 5. Finalement r = 5 cm.

La longueur de l'arc du secteur circulaire (en rouge sur la figure 4) est égale au périmètre du disque de base, car, sur le cône, les deux bords coïncident. Le périmètre est .

Le périmètre du grand disque de 5 cm de rayon est .

Appelons x l'ouverture de l'angle du secteur ; on a alors le tableau de proportionnalité :

Donc , donc (on a pu simplifier par ).

L'ouverture du secteur circulaire est de 216°.