Décrire un cercle et calculer son périmètre

Quand j'ouvre mon compas en lui donnant un écartement de 3 cm et que je le pique sur une feuille en un point O, je peux tracer un cercle de centre O et de rayon 3 cm.

Mais comment faire pour déterminer la longueur de celui-ci ?

1. Définir et construire un cercle

1.1. Définition

Un cercle est l'ensemble des points d'un plan équidistants d'un point donné.
Soit O un point et r un nombre positif ; le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble des points du plan situés à la distance r du point O.

1.2. Construire un cercle à l'aide du compas

Pour tracer un cercle, on peut utiliser un compas. Le point où l'on plante le compas est le centre du cercle. L'écartement du compas représente le rayon du cercle.

1.3. Autre construction

Si l'on ne dispose pas de compas, comment faire ? Par exemple, en classe, au tableau comment dessiner un cercle ? Si on est habile, on peut le faire à main levée ; sinon on peut utiliser un lacet dont on fixe une extrémité avec un doigt. À l'autre extrémité, on place une craie qui trace le cercle au tableau lorsqu'on tend fortement le lacet et qu'on le fait tourner.

2. Calculer le périmètre d'un cercle

2.1. Par approximation

On sait construire au compas un hexagone régulier inscrit dans un cercle donné ; cette construction est rappelée sur la figure 3.

L'hexagone construit a pour côté le rayon r du cercle ; son périmètre est donc égal à 6 × r.
6 × r est une approximation du périmètre du cercle.

Un dodécagone (polygone à douze côtés) inscrit dans le même cercle permet d'avoir une meilleure approximation encore ; on démontre que le périmètre du dodécagone est d'environ 6,2 × r ; cette valeur constitue donc une autre approximation du périmètre du cercle.

2.2. Avec la formule

Les mathématiciens ont démontré que, pour calculer le périmètre P d'un cercle de rayon r, il suffit d'appliquer la formule P = 2 ×   × r (lire : « P égal 2 fois pi fois r »).

Dans cette formule, P et r sont exprimés dans la même unité ; par exemple en centimètres.

Le nombre noté (lire pi) est environ égal à 3,1416.

Ainsi, le périmètre d'un cercle de rayon 6 cm est, en centimètres, égal à 2 ×   × 6, c'est-à-dire 12 ×  .

En utilisant une calculatrice et sa touche , on trouve que le périmètre est égal à 37,7 cm environ.