Décrire et représenter une sphère

Les hommes ont longtemps pensé que la Terre était plate. Nous savons aujourd'hui que notre planète a la forme d'une boule très légèrement aplatie au niveau de ses pôles. Pourtant, pour se repérer sur la Terre, seule la géométrie de la sphère nous intéresse. Pourquoi ?

Quelle est la différence entre ces deux objets mathématiques : la sphère et la boule ?

1. Le vocabulaire de la sphère

1.1. Sphère et boule

Soit r un nombre positif ; l'ensemble des points de l'espace situés à la distance r d'un point O constitue la sphère S de centre O et de rayon  r.

La boule B, elle, est formée de l'ensemble des points dont la distance à O est inférieure ou égale à r, c'est-à-dire des points situés à l'intérieur de  S.

1.2. Le diamètre

Un segment joignant deux points d'une sphère et passant par son centre est appelé diamètre de la sphère. On dit alors que ces deux points sont diamétralement opposés. Par exemple, sur la figure 1, A et B sont diamétralement opposés.

Tous les diamètres d'une sphère ont la même longueur, appelée le diamètre de la sphère ; le diamètre d'une sphère est le double de son rayon (comme pour un cercle).

1.3. Les cercles d'une sphère

Si un plan coupe une sphère, l'intersection est un cercle appelé cercle de la sphère. Si ce plan passe par le centre de la sphère, son intersection avec la sphère est appelée un grand cercle de la sphère. Le rayon d'un grand cercle est égal au rayon de la sphère : c'est le plus grand rayon d'un cercle de la sphère.

Sur la figure 2, on a représenté une sphère et trois de ses grands cercles, ainsi que trois paires de points diamétralement opposés : A et B, E et F, N et S. On remarquera que deux points diamétralement opposés sont toujours situés sur un grand cercle.

2. Description de la sphère terrestre

En général, la géographie ne s'intéresse qu'aux points situés à la surface de notre planète, c'est pourquoi elle ne fait appel qu'à la géométrie de la sphère. Voyons comment les notions introduites en géométrie sont utilisées en géographie.

2.1. Un peu de vocabulaire

Au lieu de dire que deux points de la Terre sont diamétralement opposés, on dit que l'un est situé aux antipodes de l'autre.

Sur la figure 3 représentant la Terre, N et S étant les pôles Nord et Sud, le grand cercle perpendiculaire à l'axe des pôles est l'équateur. Il partage la Terre en deux hémisphères : l'hémisphère Nord et l'hémisphère Sud. Tous les cercles perpendiculaires à l'axe des pôles sont appelés des parallèles (ils sont situés dans des plans parallèles au plan de l'équateur). Enfin, en géographie, un demi-grand cercle ayant les pôles Nord et Sud pour extrémités est appelé un méridien.

2.2. Les coordonnées géographiques

Tout point de la Terre, en dehors des pôles, est situé à l'intersection d'un méridien et d'un parallèle uniques : on peut donc repérer ce point à l'aide de ce méridien et de ce parallèle : on obtient deux coordonnées géographiques (la longitude et la latitude).

Plus précisément, il faut utiliser un méridien de référence, le méridien de Greenwich (en Angleterre). Le plan passant par ce méridien partage la Terre en deux hémisphères : l'hémisphère Est et l'hémisphère Ouest. En mesurant l'angle entre le méridien sur lequel est situé le point M et le méridien de Greenwich, on obtient la longitude du point M ( sur la figure 3).

Elle est comprise entre 0° et 180°. On précise « Est » ou « Ouest » selon que le point est situé à l'est ou à l'ouest du méridien de Greenwich. On dira par exemple : « 36° de longitude Ouest ».

Le parallèle sur lequel est situé le point M est repéré par rapport à l'équateur. La latitude est ainsi l'angle entre ce parallèle et l'équateur (l'angle sur la figure 3).

Elle est comprise entre 0° et 90° et on précise « Nord » ou « Sud » selon que le point est situé au nord ou au sud de l'équateur. On dira par exemple « 44° de latitude Nord ».

Chaque point de la Terre est donc repérable par sa latitude et sa longitude : la ville de Saint-Pétersbourg, par exemple, est (à quelques minutes d'angle près) située à 60° de latitude Nord et 30° de longitude Est.